Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex0990] ccp MP 1997 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}a&c&b\\c&a+b&c\\b&c&a \end{array}\right)\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\). Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{Z}\).

[oraux/ex6254] hec courts E 2015 Soit \(a\), \(b\) et \(c\) des réels non nuls vérifiant \(a^2+b^2+c^2=1\). On pose : \(U=\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right)\in\mathscr{M}_{3,1}(\mathbf{R})\).

1. 1. Calculer la matrice \(M=U{}^tU\) (où \({}^tU\) est la matrice transposée de la matrice-colonne \(U\)).

   2. \(M\) est-elle diagonalisable ? inversible ?

2. 1. Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), calculer \(M^n\).

   2. Quelles sont les valeurs propres de \(M\) est les sous-espaces propres associés ?

[concours/ex9788] polytechnique PC 2009

1. La matrice \(J=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{array}\right)\) est-elle diagonalisable sur \(\mathbf{R}\) ? sur \(\mathbf{C}\) ?

2. La matrice \(M=\left(\begin{array}{ccc}a&b&c\\c&a&b\\b&c&a\end{array}\right)\) avec \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) est-elle diagonalisable sur \(\mathbf{R}\) ?

[planches/ex5684] imt PC 2019 Soit \(J=\pmatrix{0&1&0\cr0&0&1\cr1&0&0}\). Pour \((a,b,c)\in\mathbf{C}^3\), on pose \(M(a,b,c)=aI_3+bJ+cJ^2\).

1. Montrer que les matrices \(M(a,b,c)\), pour \((a,b,c)\in\mathbf{C}^3\), commutent entre elles.

2. Montrer que \(J\) est diagonalisable. Préciser ses éléments propres.

3. Soit \((a,b,c)\in\mathbf{C}^3\). Montrer que \(M(a,b,c)\) est diagonalisable et déterminer ses éléments propres.

[planches/ex4066] ccp PSI 2018

1. Diagonaliser \(K=\pmatrix{0&1&0\cr1&0&1\cr0&1&0}\).

2. Écrire \(M=\pmatrix{a&c&b\cr c&a+b&c\cr b&c&a}\) à l’aide de puissances de \(K\).

3. Diagonaliser \(M\) et calculer \(M^n\).