Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex0810] PC 2023 Soient \(J=\pmatrix{0&1&0\cr0&0&1\cr1&0&0}\) et \(M=\pmatrix{x&z&y\cr y&x&z\cr z&y&x}\). Calculer \(J^2\) et \(J^3\). Exprimer \(M\) à l’aide de \(J\), \(J^2\) et \(J^3\). Montrer que \(J\) est diagonalisable. Qu’en est-il de \(M\) ?

[concours/ex0990] ccp MP 1997 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}a&c&b\\c&a+b&c\\b&c&a \end{array}\right)\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\). Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{Z}\).

[oraux/ex4815] hec courts S 2012 Soit \(a\), \(b\) et \(c\) des réels non nuls vérifiant \(a^2+b^2+c^2=1\). On pose \(U=\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right)\).

1. 1. Calculer \(M=U{}^tU\).

   2. \(M\) est-elle diagonalisable ?

   3. \(M\) est-elle inversible ?

2. Calculer \(M^n\) pour tout \(n\in\mathbf{N}\).

3. Donner les valeurs propres de \(M\) et les sous-espaces propres associés.

[concours/ex9454] mines 2004 Soient \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) et \(M=\left(\begin{array}{ccc}a&b&c\\c&a&b\\b&c&a\end{array}\right)\).

1. Montrer que \(M\) est diagonalisable sur \(\mathbf{C}\).

2. La matrice \(M\) est-elle diagonalisable sur \(\mathbf{R}\) ?

[oraux/ex7625] ccp PSI 2014 Soit \(J=\pmatrix{0&1&0\cr1&0&1\cr0&1&0}\) et \(K=\pmatrix{0&0&1\cr0&1&0\cr1&0&0}\). Montrer que \(J\) et \(K\) sont diagonalisables dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) et déterminer leurs éléments propres. Diagonaliser \(\pmatrix{a&b&c\cr b&a+c&b\cr c&b&a}\).