Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex5031] mines PSI 2019 Pour \(c\in\mathbf{R}\), on note \(A(c)=\pmatrix{-c&-1&c\cr-1&1-c&1\cr c&-1&-c}\).

1. Déterminer les réels \(c\) tels que \(A(c)\) ne soit pas diagonalisable.

2. Soit \(d\) la plus petite de ces valeurs. Trouver \(P\) inversible telle que \(P^{-1}A(d)P\) soit triangulaire.

[oraux/ex8593] ccp PSI 2016 Soit \(A=\pmatrix{1&0&2\cr1&1&1\cr-1&0&-2}\).

1. Diagonaliser \(A\) (donner \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_3(\mathbf{R})\) et \(D\) diagonale telles que \(A=PDP^{-1}\)).

2. Soit \((\alpha,\beta)\in\mathbf{R}^2\). La matrice \(\alpha A+\beta I_3\) est-elle diagonalisable ?

[planches/ex2708] ccp PSI 2017

1. Déterminer le spectre de la matrice \(A=\pmatrix{6&-4&-3\cr4&-2&-3\cr3&-3&-1}\).

2. Montrer que \(A\) n’est pas diagonalisable.

3. Expliciter une base \((u,v,w)\) de \(\mathbf{R}^3\) telle que \(u\) et \(v\) soient des vecteurs propres de \(A\).

4. La matrice \(A\) est-elle trigonalisable ?

[concours/ex9540] centrale MP 2005 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&2\end{array}\right)\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Montrer que \(A\) est semblable à \(\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).

3. Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{N}\).

[planches/ex5687] imt PC 2019 Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur \((a,b,c,d,e)\in\mathbf{R}^5\) pour que la matrice \(A=\pmatrix{a&b&c\cr0&a&d\cr0&0&e}\) soit diagonalisable.

Indication : Distinguer \(a=e\) et \(a\neq e\).