Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex4359] hec E 2006 Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique s’écrit : \(A=\left(\begin{array}{ccc}-1&0&1\\0&0&0\\1&0&-1\end{array}\right)\).

1. Définition et propriétés des matrices de passage.

2. Donner une base et la dimension de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f\).

3. Donner une base et la dimension de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits f\).

4. Donner les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(f\).

5. \(f\) est-il diagonalisable ?

6. Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{N}^*\).

7. On note \(I\) la matrice identité dans la base canonique. Déterminer les réels \(a\) tels que l’on ait \((A-aI)^2=I\).

[concours/ex5076] escp S 1999 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}2&1&1\\ 1&2&1\\ 0&0&3\end{array}\right)\) et \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) de matrice \(A\) relativement à la base canonique.

1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(f\).

2. Montrer que les deux sous-espaces \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-id)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-3id)^2\) sont supplémentaires dans \(\mathbf{R}^3\). En déduire qu’il existe une base de \(\mathbf{R}^3\) dans laquelle la matrice de \(f\) est \(A'=\left(\begin{array}{ccc}3&1&0\\ 0&3&0\\ 0&0&1\end{array}\right)\). Calculer \(A'^n\), pour \(n\in\mathbf{N}^*\), en déduire \(A^n\).

[concours/ex6801] escp B/L 2009 Soit \(A\) la matrice de \({\cal M}_3(\mathbb{R})\) définie par : \(A= \left(\begin{array}{ccc} -1 & -1 & -1\\ -1 & 1 &-1 \\ -1 &-1 &3\end{array}\right)\).

On admet que \(\lambda\) est valeur propre de \(A\) si et seulement si \(\lambda^3-3\lambda^2-4\lambda +8=0\).

1. Montrer que \(A\) admet trois valeurs propres \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), \(\lambda_3\) telles que : \[\lambda_1 <1<\lambda_2 <2< \lambda_3.\] La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) à valeurs réelles par \(f(x)= \displaystyle{1\over 6}( x^3-3x^2+2x+8)\).

   1. Montrer que \(f(\lambda_2)=\lambda_2\).

   2. Montrer que \(f([1,2])\subset [1,2]\).

   3. Montrer que pour tout \(\lambda\) de \([1,2]\), on a : \(|f(\lambda)-f(\lambda_2)|\leqslant\displaystyle{1\over3}|\lambda-\lambda_2|\).

3. Soit \((x_n)_{n\ge 0}\) la suite définie par \(x_0\in [1,2]\) et pour tout \(n\geqslant 0\) : \(x_{n+1}=f(x_n)\). Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n\).

[ev.algebre/ex2210] Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&2&6\\ -1&0&2\\1&2&2\end{array}\right)\).

1. Diagonaliser \(A\).

2. En déduire, pour tout \(n\in\mathbf{N}\), une expression de \(A^n\) en fonction de \(n\).

[concours/ex9457] mines 2004 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&1\\1&1&0\\1&0&1\end{array}\right)\). Éléments propres ? diagonalisabilité ? Calcul de \(A^n\).