Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex9456] mines 2004 Diagonaliser \(\left(\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{array}\right)\).

[concours/ex9807] mines MP 2009 Soit \(M_\lambda=\left(\begin{array}{ccc}-1&-\lambda&-\lambda\\0&-1&1\\ 1&0&-1\end{array}\right)\). Déterminer les espaces propres de \(M_\lambda\) suivant \(\lambda\).

[planches/ex2708] ccp PSI 2017

1. Déterminer le spectre de la matrice \(A=\pmatrix{6&-4&-3\cr4&-2&-3\cr3&-3&-1}\).

2. Montrer que \(A\) n’est pas diagonalisable.

3. Expliciter une base \((u,v,w)\) de \(\mathbf{R}^3\) telle que \(u\) et \(v\) soient des vecteurs propres de \(A\).

4. La matrice \(A\) est-elle trigonalisable ?

[oraux/ex6020] hec E 2014

1. Question de cours : Définition de deux matrices semblables.

   Soit \(f\) un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice \(A\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\) est donnée par : \[A=\left(\begin{array}{ccc}3&2&-2\\ -1&0&1\\1&1&0\end{array}\right).\] On note \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) l’endomorphisme identité de \(\mathbf{R}^3\) et on pose : \(f^2=f\mathbin{\circ} f\).

2. 1. Montrer que \(2f-f^2=\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\).

   2. Montrer que l’endomorphisme \(f\) est un automorphisme. Quel est l’automorphisme réciproque de \(f\) ?

   3. Montrer que \(f\) admet l’unique valeur propre \(\lambda=1\). L’endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable ?

   4. déterminer le sous-espace propre associé à la valeur propre 1. Quelle est sa dimension ?

3. 1. Calculer pour tout \(n\in\mathbf{N}\), \(A^n\) en fonction de \(n\).

   2. Le résultat précédent s’étend-t-il au cas où \(n\in\mathbf{Z}\) ?

4. Déterminer une base \((u,v,w)\) de \(\mathbf{R}^3\) dans laquelle la matrice de \(f\) est la matrice \(C=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).

[oraux/ex8601] imt PSI 2016 Soit \(A=\pmatrix{1&0&-1\cr0&2&0\cr-1&0&1}\) et \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) canoniquement associé à \(A\).

1. Trouver les valeurs propres de \(f\). Cet endomorphisme est-il diagonalisable ?

2. Soit \((a,b)\in\mathbf{R}^2\). Trouver les valeurs propres de \(g=af+b\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\).

3. À quelles conditions sur \((a,b)\) l’endomorphisme \(g\) est-il bijectif ?