Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex2288] centrale PSI 2024 Soit \(M(a,b,c)=\pmatrix{a&0&c\cr0&b&0\cr c&0&a}\) avec \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{R}\).

1. Déterminer les valeurs propres de \(M(a,b,c)\) et son déterminant.

2. Déterminer le noyau et l’image de la matrice.

3. La matrice \(M(a,b,c)\) est-elle diagonalisable ?

[concours/ex5070] escp S 1999 On note \({\cal{M}}_3(\mathbf{R})\) l’espace vectoriel réel des matrices carrées d’ordre \(3\) à coefficients réels. On considère la matrice \(A\) définie par : \[A=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & -1 \\1 & 0 & -1 \\1 & 1 & 0 \end{array}\right).\]

1. Déterminer la matrice \(B=A^2+2I\). La matrice \(B\) est-elle diagonalisable ?

2. Montrer que \(B^2=B+2I\).

3. Déterminer les valeurs propres de \(B\). En déduire les sous-espaces propres associés.

4. Vérifier que si \(\lambda\) est une valeur propre de \(A\), alors \(\lambda^2+2\) est une valeur propre de \(B\). En déduire que \(A\) n’est pas diagonalisable dans \({\cal{M}}_3(\mathbf{R})\).

5. Montrer que \(B\) est inversible et exprimer \(B^{-1}\) en fonction des matrices \(B\) et \(I\).

6. On s’intéresse maintenant aux puissances de \(B\).

   1. On pose, pour tout \(n\geqslant 2\), \(X^n=(X^2-X-2)Q_n(X)+R_n(X)\) où \(Q_n\) et \(R_n\) sont deux polynômes tels que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{deg}}{\hbox{deg}}{\mathrm{deg}}{\mathrm{deg}}}\nolimits(R_n)<2\).

      On note \(R_n(X)=a_nX+b_n\). Déterminer le couple \((a_n,b_n)\).

   2. En déduire l’expression de \(B^n\) en fonction de \(I\), \(B\) et \(n\), pour \(n\geqslant 0\).

   3. Montrer que l’expression de \(B^n\) en fonction de \(I\), de \(B\) et de \(n\), qui a été obtenue pour \(n\geqslant 0\), est encore valable pour les entiers négatifs.

[oraux/ex7499] ccp PSI 2013 Soient \(A=\pmatrix{a&1&b\cr1&c&d\cr e&f&1}\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) et \(\mathscr{B}=\left(\pmatrix{1\cr1\cr0},\pmatrix{1\cr2\cr1},\pmatrix{1\cr-1\cr2}\right)\). Trouver \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\) tels que \(\mathscr{B}\) soit une base de vecteurs propres de \(A\).

[oraux/ex7626] mines alès PC 2014 Soit \((u_n)_{n\geqslant 0}\) définie par : \((u_0,u_1,u_2)\in\mathbf{R}^3\) et \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(u_{n+3}=6u_{n+2}+11u_{n+1}+6u_n\). Pour \(n\in\mathbf{N}\), on pose \(X_n={}^t(u_n,u_{n+1},u_{n+2})\). Trouver une matrice \(A\) de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que : \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(X_{n+1}=AX_n\). Diagonaliser \(A\) puis donner l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\) et des conditions initiales.

[examen/ex2046] mines PC 2024 Soient \(A=\pmatrix{0&0&1\cr1&0&0\cr0&1&0}\) et \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbb{R})\) telle que \(M^3=I_3\) et \(M\neq I_3\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable dans \(\mathscr{M}_3(\mathbb{C})\) ? dans \(\mathscr{M}_3(\mathbb{R})\) ? Donner ses valeurs propres.

2. La matrice \(M\) est-elle diagonalisable dans \(\mathscr{M}_3(\mathbb{C})\) ? Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits_\mathbf{C}(M)\subset\{1,j,j^2\}\) et que les multiplicités de \(j\) et \(j^2\) sont les mêmes. Donner le spectre de \(M\).

3. Montrer que \(A\) et \(M\) sont semblables dans \(\mathscr{M}_3(\mathbb{C})\), puis dans \(\mathscr{M}_3(\mathbb{R})\).