Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex1894] mines PSI 2024 Soit \(A=\pmatrix{-1&1&1\cr0&5&-14\cr0&-3&-8}\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Soit \(n\in\mathbf{N}\). Montrer qu’il existe un unique \((\alpha_n,\beta_n,\gamma_n)\in\mathbf{R}^3\) et un unique \(Q_n\in\mathbf{R}[X]\) tels que \(X^n=(X+1)^2(X+2)Q_n(X)+\alpha_n(X+2)+\beta_n (X+1)(X+2)+\gamma_n(X+1)^2\).

3. Déterminer \(A^n\).

[examen/ex0806] imt PC 2023 Soit \(A=\pmatrix{0&3&2\cr-2&5&2\cr2&-2&0}\). Étudier la diagonalisabilité de \(A\).

[oraux/ex7783] mines PC 2016 Soit \(M(\alpha)=\pmatrix{0&0&\alpha\cr1&0&1\cr0&1&0}\) pour \(\alpha\in\mathbf{C}\). Déterminer les valeurs de \(\alpha\) pour lesquelles \(M(\alpha)\) possède une valeur propre de module 1.

[concours/ex9932] polytechnique, espci PC 2010 Soit, pour \(t\in\mathbf{R}\) : \(M(t)=\left(\begin{array}{ccc}1&-1&t-2\\ 0&2&2-t\\1&1&t\end{array}\right)\). Pour quelles valeurs de \(t\) la matrice \(M(t)\) est-elle diagonalisable ?

[ev.algebre/ex2148] Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}5&-1&1\\ -1&1&-3\\1&-3&1\end{array}\right)\) ; calculer \(A^n\).