Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7099] mines PSI 2014 Soient \(a\in\mathbf{R}^*\) et \(A=\pmatrix{0&a&a^2\cr1/a&0&a\cr1/a^2&1/a&0}\). Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{N}^*\).

[planches/ex8333] mines PC 2022 Soit \((a,\alpha)\in\mathbf{R}^2\). On pose \(M=\pmatrix{0&a&a^2\cr a^{-1}&0&a\cr a^{-2}&a^{-1}&0}\) et \(B_\alpha=\pmatrix{\alpha&a&a^2\cr a^{-1}&\alpha&a\cr a^{-2}&a^{-1}&\alpha}\).

1. Calculer \(M^2\). En déduire que \(M\) est inversible et calculer \(M^{-1}\).

2. Calculer \(M^n\) pour tout \(n\in\mathbf{N}\).

3. Déterminer si \(M\) est diagonalisable, et calculer les éléments propres de \(M\).

4. Déterminer si \(B_\alpha\) est diagonalisable, et calculer les éléments propres de \(B_\alpha\).

[examen/ex0353] hec E 2023 Soit \(m\) un réel strictement positif et \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice \(M\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\) est : \[M=\pmatrix{0&1/m&1/m^2\cr m&0&1/m\cr m^2&m&0}.\] On note \(I\) la matrice identité de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) et \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) l’endomorphisme identité de \(\mathbf{R}^3\). Pour tout endomorphisme \(g\) de \(\mathbf{R}^3\) on pose \(g^0=\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) et pour tout \(k\) appartenant à \(\mathbf{N}^*\), \(g^k=g\mathbin{\circ} g^{k-1}\).

1. Question de cours : critère de diagonalisabilité d’une matrice selon les sous-espaces propres.

2. 1. Montrer que la matrice \(M^2\) est une combinaison linéaire de \(M\) et de \(I\). En déduire un polynôme annulateur non nul de \(M\).

   2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(M\). La matrice \(M\) est-elle diagonalisable ?

3. Soient \(p\) et \(q\) les endomorphismes de \(\mathbf{R}^3\) définis par \(p=\displaystyle{1\over3}(f+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\) et \(q=-\displaystyle{1\over3}(f-2\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\).

   1. Calculer \(p\mathbin{\circ} q\) et \(q\mathbin{\circ} p\), puis pour tout \(n\) appartenant à \(\mathbf{N}\), \(p^n\) et \(q^n\).

   2. En déduire pour tout entier naturel \(n\), l’expression de \(f^n\) en fonction de \(p\) et \(q\).

   3. Déterminer deux suites réelles \((a_n)\) et \((b_n)\) telles que pour tout \(n\) appartenant à \(\mathbf{N}\), \(M^n=a_nI+b_nM\).

   4. Cette dernière formule reste-t-elle valable si \(n\) appartient à \(\mathbf{Z}\) ?

[examen/ex1912] mines PSI 2024 On munit \(\mathbf{R}^3\) de sa structure euclidienne canonique. Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique est \(\displaystyle\frac{1}{3}\pmatrix{2&2&-1\cr-1&2&2\cr2&-1&2}\). Déterminer sa nature et ses valeurs propres.

[concours/ex6722] escp B/L 2008 Soit \(a\) un réel non nul, et \(A\) la matrice définie par : \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&a&a^2\\ 1/a&0&a\\ {1}/{a^2}&1/a&0\end{array}\right)\)

1. Calculer \(A^2\).

2. Trouver un polynôme \(P\) unitaire et de degré \(2\) annulateur de \(A\), c’est-à-dire un polynôme \(P\) de la forme \(X^2+\alpha X +\beta\) tel que \(A^2+\alpha A+\beta I=0\), où \(I\) désigne la matrice identité de \({\cal M}_3(\mathbb{R})\).

3. Montrer que la matrice \(A\) est inversible. Donner son inverse.

4. Déterminer une expression de \(A^n\) pour \(n\in\mathbb{N}\) en fonction de la matrice identité \(I\) et de la matrice \(A\).

5. 1. Quelles sont les valeurs propres possibles de \(A\) ?

   2. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?