Édition de feuilles d'exercices

[ev.algebre/ex2199] Soit la matrice : \[A=\left(\begin{array}{ccc}3&-1&-2\\2&0&-2\\2&-1&-1 \end{array}\right).\] Déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres. Est-elle diagonalisable ?

Exprimer si c’est le cas une matrice diagonale qui soit semblable à \(A\).

[planches/ex2311] mines PC 2017 Soit \(A=\pmatrix{2&0&1\cr1&1&0\cr-1&1&3}\). Réduire la matrice \(A\).

[planches/ex7315] imt PSI 2021 Soient \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{C}\) et \(A=\pmatrix{0&b&c\cr a&0&c\cr a&b&0}\).

1. Calculer le déterminant de \(A\).

2. À quelle condition \(A\) est-elle diagonalisable ?

[concours/ex9087] hec courts S 2010

1. La matrice \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&1&0\\0&0&0\end{array}\right)\) est-elle diagonalisable ?

2. soit \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension 3 et \(u\) un endomorphisme de \(E\) tel que \(u^2\) soit un projecteur de rang égal à 1.

   1. Montrer que 0 est valeur propre de \(u\) et que \(u\) possède au plus une autre valeur propre, égale à \(+1\) ou à \(-1\).

   2. Montrer que, si \(u\) admet 1 pour valeur propre et n’est pas lui-même un projecteur, il existe une base de \(E\) dans laquelle la matrice de \(u\) est \(A\).

[oraux/ex7626] mines alès PC 2014 Soit \((u_n)_{n\geqslant 0}\) définie par : \((u_0,u_1,u_2)\in\mathbf{R}^3\) et \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(u_{n+3}=6u_{n+2}+11u_{n+1}+6u_n\). Pour \(n\in\mathbf{N}\), on pose \(X_n={}^t(u_n,u_{n+1},u_{n+2})\). Trouver une matrice \(A\) de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que : \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(X_{n+1}=AX_n\). Diagonaliser \(A\) puis donner l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\) et des conditions initiales.