Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex6801] escp B/L 2009 Soit \(A\) la matrice de \({\cal M}_3(\mathbb{R})\) définie par : \(A= \left(\begin{array}{ccc} -1 & -1 & -1\\ -1 & 1 &-1 \\ -1 &-1 &3\end{array}\right)\).

On admet que \(\lambda\) est valeur propre de \(A\) si et seulement si \(\lambda^3-3\lambda^2-4\lambda +8=0\).

1. Montrer que \(A\) admet trois valeurs propres \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), \(\lambda_3\) telles que : \[\lambda_1 <1<\lambda_2 <2< \lambda_3.\] La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) à valeurs réelles par \(f(x)= \displaystyle{1\over 6}( x^3-3x^2+2x+8)\).

   1. Montrer que \(f(\lambda_2)=\lambda_2\).

   2. Montrer que \(f([1,2])\subset [1,2]\).

   3. Montrer que pour tout \(\lambda\) de \([1,2]\), on a : \(|f(\lambda)-f(\lambda_2)|\leqslant\displaystyle{1\over3}|\lambda-\lambda_2|\).

3. Soit \((x_n)_{n\ge 0}\) la suite définie par \(x_0\in [1,2]\) et pour tout \(n\geqslant 0\) : \(x_{n+1}=f(x_n)\). Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n\).

[planches/ex3427] mines MP 2018 Soient \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{R}_+^*\setminus\{1\}\). Réduire la matrice : \[\pmatrix{0&\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_ba&\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_ca\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_ab&0&\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_cb\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_ac&\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_bc&0}.\]

[examen/ex2428] imt MP 2024 On pose \(A=\pmatrix{1&0&a\cr0&2&0\cr0&0&a}\), où \(a\in\mathbf{R}\). La matrice \(A\) est-elle inversible ? diagonalisable ?

[planches/ex8705] hec B/L 2022 On note \(E\) l’espace vectoriel des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à 2. On définit les fonctions \(e_0\), \(e_1\), \(e_2\) par : \[\forall t\in\mathbf{R},\quad e_0(t)=1,\quad e_1(t)=t\quad\hbox{et}\quad e_2(t)=t^2.\] On rappelle que la famille \((e_0,e_1,e_2)\) est une base de \(E\). On considère l’application \(\varphi\) qui, à toute fonction \(P\) de \(E\), associe la fonction, notée \(\varphi(P)\), définie par : \[\forall x\in\mathbf{R},\quad\varphi(P)(x)=\int_0^1P(x+t)\,dt.\]

1. Question de cours : Critère d’inversibilité d’une matrice triangulaire.

2. Montrer que \(\varphi\) est un endomorphisme de \(E\).

3. 1. Écrire la matrice \(A\) de \(\varphi\) dans la base \((e_0,e_1,e_2)\).

   2. Justifier que \(\varphi\) est un automorphisme de \(E\).

   3. L’endomorphisme \(\varphi\) est-il diagonalisable ?

4. 1. Montrer que pour tout entier naturel \(n\), il existe un réel \(u_n\) tel que : \[A^n=\pmatrix{1&n/2&u_n\cr0&1&n\cr0&0&1}.\] Donner \(u_0\) et exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\).

   2. En déduire, par sommation, l’expression de \(u_n\) pour tout entier \(n\).

[oraux/ex0013] centrale PC 2010 Montrer que \(M=\left(\begin{array}{ccc}6&-6&5\\14&-13&10\\ 7&-6&4\end{array}\right)\) et \(N=\left(\begin{array}{ccc}-1&0&0\\1&-1&0\\ 0&0&-1\end{array}\right)\) sont semblables.