Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex9087] hec courts S 2010

1. La matrice \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&1&0\\0&0&0\end{array}\right)\) est-elle diagonalisable ?

2. soit \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension 3 et \(u\) un endomorphisme de \(E\) tel que \(u^2\) soit un projecteur de rang égal à 1.

   1. Montrer que 0 est valeur propre de \(u\) et que \(u\) possède au plus une autre valeur propre, égale à \(+1\) ou à \(-1\).

   2. Montrer que, si \(u\) admet 1 pour valeur propre et n’est pas lui-même un projecteur, il existe une base de \(E\) dans laquelle la matrice de \(u\) est \(A\).

[examen/ex2429] imt MP 2024 Soient \(x\in\mathbf{R}\) et \(A=\pmatrix{x&1&0\cr1&0&-1\cr0&-1&0}\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. La matrice \(A\) est-elle inversible ? Si oui, calculer son inverse.

[examen/ex2046] mines PC 2024 Soient \(A=\pmatrix{0&0&1\cr1&0&0\cr0&1&0}\) et \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbb{R})\) telle que \(M^3=I_3\) et \(M\neq I_3\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable dans \(\mathscr{M}_3(\mathbb{C})\) ? dans \(\mathscr{M}_3(\mathbb{R})\) ? Donner ses valeurs propres.

2. La matrice \(M\) est-elle diagonalisable dans \(\mathscr{M}_3(\mathbb{C})\) ? Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits_\mathbf{C}(M)\subset\{1,j,j^2\}\) et que les multiplicités de \(j\) et \(j^2\) sont les mêmes. Donner le spectre de \(M\).

3. Montrer que \(A\) et \(M\) sont semblables dans \(\mathscr{M}_3(\mathbb{C})\), puis dans \(\mathscr{M}_3(\mathbb{R})\).

[concours/ex9456] mines 2004 Diagonaliser \(\left(\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{array}\right)\).

[examen/ex4144] imt PSI 2025 On considère \(A=\pmatrix{-1&4&0\cr0&1&0\cr1&0&3}\).

1. Déterminer le spectre de \(A\). Montrer que \(A\) est semblable à une matrice diagonale \(D\) que l’on explicitera.

2. Montrer que toute matrice commutant avec \(D\) est une matrice diagonale.

3. Soit \(P(X)=X^7+X+1\). Identifier les matrices \(M\) telles que \(P(M)=A\).