Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex0369] hec E 2023 Soit \(\alpha\) un nombre réel. On considère la matrice : \[A_\alpha=\pmatrix{-1&2-\alpha&-\alpha\cr-\alpha&1&-\alpha\cr2&\alpha-2&\alpha+1}\] et on note \(\phi_\alpha\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) représenté par \(A_\alpha\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\).

On appelle \(f_1\) le vecteur \(\pmatrix{1\cr1\cr-1}\) et \(f_2\) le vecteur \(\pmatrix{1\cr1\cr-2}\).

1. Question de cours : critère de diagonalisabilité d’une matrice selon les sous-espaces propres.

2. 1. Montrer que, quelque soit \(\alpha\), la matrice \(A_\alpha\) admet la valeur propre 1.

   2. On note \(E_1(\alpha)\) le sous-espace propre de \(A_\alpha\) associé à la valeur propre 1. Déterminer, suivant les valeurs de \(\alpha\), une base de \(E_1(\alpha)\).

3. On note \(F=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(f_1,f_2)\).

   1. Montrer que l’image par \(\phi_\alpha\) de tout vecteur de \(F\) appartient à \(F\).

   2. On appelle \(\widehat{\phi_\alpha}\) l’endomorphisme de \(F\) induit par \(\phi_\alpha\), c’est-à-dire vérifiant, pour tout vecteur \(V\) de \(F\), \(\widehat{\phi_\alpha}(V)=\phi_\alpha(V)\).

      Donner une matrice de \(\widehat{\phi_\alpha}\).

4. Montrer que pour tout réel \(\alpha\), \(\alpha-1\) est une valeur propre de \(A_\alpha\) et que l’on peut trouver un vecteur \(f_3\) de \(\mathbf{R}^3\) ne dépendant pas de \(\alpha\), qui soit, pour tout réel \(\alpha\), vecteur propre de \(A_\alpha\) associé à la valeur propre \(\alpha-1\).

5. Pour quelles valeurs du paramètre \(\alpha\) la matrice \(A_\alpha\) est-elle diagonalisable ?

[oraux/ex0013] centrale PC 2010 Montrer que \(M=\left(\begin{array}{ccc}6&-6&5\\14&-13&10\\ 7&-6&4\end{array}\right)\) et \(N=\left(\begin{array}{ccc}-1&0&0\\1&-1&0\\ 0&0&-1\end{array}\right)\) sont semblables.

[oraux/ex6848] hec courts E 2016 Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice \(A\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\) est : \(A=\pmatrix{-1&1&1\cr0&0&2\cr1&-1&1}\).

1. Déterminer une base de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f\) et une base de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits f\).

2. On admet sans démonstration que \(A^3=0\). Soit \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) définie par \(M=\pmatrix{0&1&1\cr0&1&2\cr1&-1&2}\).

   1. Quelles sont les valeurs propres de \(M\) ? \(M\) est-elle diagonalisable ?

   2. Justifier que \(M\) est inversible et exprimer \(M^{-1}\) en fonction de \(A\) et de \(I\) (matrice identité de \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\)).

[concours/ex9105] hec courts E 2010 On note \(\mathscr{B}=(e_1,e_2,e_3)\) la base canonique de \(\mathbf{R}^3\).

Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice dans la base \(\mathscr{B}\) est \(M=\left(\begin{array}{ccc}1&-1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{array}\right)\).

Calculer \(f(e_1+e_2+e_3)\), \(f(e_2)\), \(f(-e_1+e_3)\).

Montrer que \(M\) est semblable à la matrice \(M'=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{array}\right)\).

\(M\) est-elle diagonalisable ?

[oraux/ex7467] centrale PSI 2013 Soit \(A=\pmatrix{-1&1&-3\cr0&2&-1\cr1&0&2}\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Soit \(B=I_3-A\). Trouver \(X\in\mathscr{M}_{2,1}(\mathbf{R})\) tel que \((B^2X,BX,X)\) soit une base de \(\mathscr{M}_{3,1}(\mathbf{R})\). En déduire une matrice \(P\) inversible telle que \(P^{-1}AP\) soit triangulaire.