Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex2429] imt MP 2024 Soient \(x\in\mathbf{R}\) et \(A=\pmatrix{x&1&0\cr1&0&-1\cr0&-1&0}\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. La matrice \(A\) est-elle inversible ? Si oui, calculer son inverse.

[oraux/ex8655] imt PC 2016 Soit \(P=(X-1)^2\) et \(A=\pmatrix{1&0&0\cr0&-2&9\cr0&-1&4}\).

1. Déterminer les valeurs propres (complexes) de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Calculer \(P(A)\). En déduire \(A^{-1}\).

3. Montrer que \(A\) est semblable à \(T=\pmatrix{1&0&0\cr0&1&1\cr0&0&1}\).

[concours/ex0914] centrale MP 1997 Condition nécessaire et suffisante pour que \(\left(\begin{array}{ccc} 1&a&b\\1&a'&b'\\1&a''&b''\end{array}\right)\) soit diagonalisable.

[planches/ex6348] hec courts E 2021 Soit \(a \in \mathbf{R}\). On note : \[A =\pmatrix{2 & 0 & 4\cr3 & -4 & 12\cr1 & -2 & 5},\qquad A_0 =\pmatrix{2+a & 0 & 4\cr3 & -4+a & 12\cr1 & -2 & 5+a}\qquad \hbox{et} \qquad P =\pmatrix{2 & -4 & -4\cr1 & 0 & 3\cr0 & 1 & 2}\]

1. Calculer \(AP\).

2. \(A\) est-elle diagonalisable ? Est-elle inversible ? Donner une matrice semblable à \(A\).

3. Pour quelle(s) valeur(s) de \(a\), \(A_a\) est-elle diagonalisable ? Pour quelle(s) valeur(s) de \(a\), \(A_a\) est-elle inversible ?

[planches/ex7429] escp S 2022

1. Soit \(\mathcal{E}\) l’ensemble des suites réelles \((u_p)_{p \in \mathbb{N}}\) vérifiant la relation \[\forall p \in \mathbb{N},\quad u_{p+3} = 4\,u_{p+2} -5 u_{p+1} + 2u_p\]

   1. Montrer que \(\mathcal{E}\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension \(3\).

   2. Vérifier que la suite \((p)_{p \in \mathbb{N}}\) appartient à \(\mathcal{E}\).

   3. Déterminer les suites géométriques appartenant à \(\mathcal{E}\).

   4. En déduire l’expression des suites appartenant à \(\mathcal{E}\).

2. Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) de matrice dans la base canonique \[A = \pmatrix{7&3&-4 \cr -6&-2&5 \cr 4&2&-1}\]

   1. Vérifier que \(1\) et \(2\) sont valeurs propres de \(A\).

   2. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable?

   3. Justifier que \(A\) est semblable à \[T = \pmatrix{1&1&0 \cr 0&1&0 \cr 0&0&2}\]

   4. En déduire que le polynôme \(\, P(X) = (X-1)^2(X-2) \,\) est annulateur de \(A\).

3. 1. Justifier que \[\forall p \in \mathbb{N}\,,\; \exists (a_p,b_p,c_p) \in \mathbb{R}^3,\quad A^p = a_p\,A^2 + b_p\,A + c_p\,I_3\] où \(A\) a été définie dans la question précédente.

   2. Montrer que \((a_p)_{p \in \mathbb{N}} \in \mathcal{E}\).

   3. Expliciter \(A^p\) en fonction de \(A^2\), \(A\), \(I_3\).

   4. La matrice \(A\) est-elle inversible? Si oui, expliciter son inverse.