Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex8602] ensea PSI 2016 Soient \((x,y,z)\in\mathbf{C}^3\setminus\{0\}\) et \[M=\pmatrix{x^2&xy&xz\cr xy&y^2&yz\cr xz&yz&z^2}.\]

1. Montrer qu’il existe \(C\in\mathscr{M}_{3,1}(\mathbf{C})\) tel que \(M=CC^T\).

2. Déterminer le rang de \(M\).

3. Montrer que \(M\) est semblable à une matrice de la forme \(N=\pmatrix{a&0&0\cr b&0&0\cr c&0&0}\) avec \((a,b,c)\neq(0,0,0)\). Expliciter \(a\) en fonction de \(x\), \(y\) et \(z\).

4. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que \(M\) soit diagonalisable.

[ev.algebre/ex2147] Diagonaliser la matrice \(M\) de l’endomorphisme \(f\) : \[M=\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right).\]

[concours/ex0009] polytechnique MP 1996 Diagonaliser \[\left(\begin{array}{ccc}m&1&1\\1&m&1\\1&1&m\end{array}\right)\,.\]

[concours/ex1422] centrale MP 1998 Pour \(z\in\mathbf{C}\), on pose \(M(z)=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&z\\1&1&0\\1&1&1\end{array}\right)\).

1. Montrer que \(M\) admet une valeur propre \(\lambda\) telle que \(|\lambda|\geqslant 1\).

2. Montrer que \(M(z)\) est diagonalisable si et seulement si \(z\neq0\) et \(z\neq\displaystyle{27\over4}\).

3. Ensemble des \(z\) tels que \(M(z)\) admette une valeur propre de module \(1\).

[ev.algebre/ex1373] Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&a&a^2\\1/a&0&a\\1/a^2&1/a&0\end{array}\right)\) avec \(a\in\mathbf{R}^*\), calculer \(A^n\) pour tout \(n\in\mathbf{N}\).