Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex8593] ccp PSI 2016 Soit \(A=\pmatrix{1&0&2\cr1&1&1\cr-1&0&-2}\).

1. Diagonaliser \(A\) (donner \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_3(\mathbf{R})\) et \(D\) diagonale telles que \(A=PDP^{-1}\)).

2. Soit \((\alpha,\beta)\in\mathbf{R}^2\). La matrice \(\alpha A+\beta I_3\) est-elle diagonalisable ?

[concours/ex4359] hec E 2006 Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique s’écrit : \(A=\left(\begin{array}{ccc}-1&0&1\\0&0&0\\1&0&-1\end{array}\right)\).

1. Définition et propriétés des matrices de passage.

2. Donner une base et la dimension de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f\).

3. Donner une base et la dimension de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits f\).

4. Donner les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(f\).

5. \(f\) est-il diagonalisable ?

6. Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{N}^*\).

7. On note \(I\) la matrice identité dans la base canonique. Déterminer les réels \(a\) tels que l’on ait \((A-aI)^2=I\).

[oraux/ex7493] mines alès MP 2013 Soit \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\), de trace nulle, de rang 2 et telle que \(A^3\neq0\). Étudier la diagonalisabilité de \(A\).

[planches/ex3426] mines MP 2018 Soit \(\mathbf{K}=\mathbf{R}\) ou \(\mathbf{C}\). Étudier le caractère diagonalisable de \[M=\pmatrix{0&a&b\cr-1/a&0&c\cr-1/b&-1/c&0}\] pour \((a,b,c)\in(\mathbf{K}^*)^3\).

[oraux/ex4330] centrale PC 2011 Soient \(\mathscr{F}\) l’ensemble des matrices de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) dont les sommes des coefficients de la première ligne, de la troisième ligne, de la première colonne et de la troisième colonne sont toutes les quatre nulles.

1. Montrer que \(\mathscr{F}\) est un sous-espace vectoriel ; donner sa dimension.

2. Trouver une matrice de \(\mathscr{F}\) inversible, une matrice de \(\mathscr{F}\) non nulle non inversible, une matrice de \(\mathscr{F}\) diagonalisable.

3. Une matrice dans \(\mathscr{F}\) dont le noyau est \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits\left({}^t(1,0,0),{}^t(1,1,1)\right)\) est-elle diagonalisable ?