Édition de feuilles d'exercices

[ev.algebre/ex2201] Soit \(f\) un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) et \(A\) sa matrice représentative dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\) : \[A=\left(\begin{array}{ccc}-2&5&7\\ -1&6&9\\0&-2&-3\end{array}\right).\] Déterminer trois vecteurs \((e_1,e_2,e_3)\) formant une base de \(\mathbf{R}^3\) tels que : \[\left\{\begin{array}{rcl} f(e_1)&=&e_1\\f(e_2)&=&-e_2\\f(e_3)&=&e_1-e_2+e_3.\end{array}\right.\] En déduire une matrice triangulaire semblable à \(A\). \(A\) est-elle diagonalisable ?

[oraux/ex4646] escp courts 2011 Soient trois nombres complexes \(a\), \(b\), \(c\). Calculer la matrice \(A^{7}\), avec : \[A=\left(\begin{array}{ccc}1+i\sqrt3 &a&b\cr 0&1-i\sqrt 3&c\cr 0&0& 2\end{array}\right).\]

[oraux/ex4246] centrale PSI 2011 Soit \((A,B)\in\mathscr{M}_{3,1}(\mathbf{R})\) et \(U=A{}^tB+B{}^tA\). Déterminer les éléments propres de \(U\).

[concours/ex4807] escp S 2002 Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) défini par : \[f(x,y,z)=(x,0,y).\]

1. Déterminer le noyau et l’image de \(f\).

2. Soit \(E=\{(x,y,0)\mid (x,y)\in \mathbf{R}^2\}\). Déterminer \(f(E)\) et \(f^{-1}(E)\).

3. L’endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable ?

[examen/ex3547] mines PSI 2025 Soit \(A=\pmatrix{0&-3&5\cr-1&-2&5\cr-1&-3&6}\).

1. Déterminer les valeurs propres de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Montrer que, pour tout \(n\in\mathbf{N}\), il existe des réels \(a_n\) et \(b_n\) tels que \(A^n=a_nI_3+b_nA\).

3. La matrice \(A\) est-elle inversible ? Le résultat de la question précédente reste-t-il valable pour tout \(n\in\mathbf{Z}\) ?

4. Existe-t-il \((\alpha,\beta)\in\mathbf{R}^2\) tel que \(M=\alpha I_3+\beta A\) et \(M^2=A\) ?