Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex1081] polytechnique MP 1998 Soit \(M=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&1&0\end{array}\right) \in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\).

1. Étudier les valeurs propres de \(M\).

2. Soit \(\rho\) la valeur propre réelle, \(\sigma\) et \(\overline\sigma\) les valeurs propres non réelles. Montrer que \(\rho>1\) et \(|\sigma|<1\).

3. On pose \(u_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M^n\). Valeur de \(u_n\) en fonction de \(\rho\), \(\sigma\), \(\overline\sigma\) ? Formule de récurrence sur les \(u_n\) ?

4. Montrer que, pour tout \(\alpha\in\mathbf{R}\), les séries \(\sum\limits\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\alpha u_n)\) et \(\sum\limits\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\alpha\rho^n)\) sont de même nature.

[planches/ex5585] saint-cyr PSI 2019 Montrer que la matrice \(A=\pmatrix{a&0&b\cr0&a+b&0\cr b&0&a}\) est diagonalisable et trouver ses éléments propres.

[concours/ex1689] polytechnique MP 1999 Soit \(M=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&1&0\end{array}\right)\).

1. Quelles sont les valeurs propres de \(M\) ?

2. On pose \(u_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M^n\) pour tout \(n\). Exprimer \(u_n\) à l’aide des valeurs propres de \(M\). Définir \(u_n\) par une relation de récurrence linéaire.

3. Soit un entier \(q\geqslant 2\). Étudier la suite \((u_n)\) modulo \(q\). On commencera par \(q=4\) puis \(q=5\).

4. Quelle est la nature de la série de terme général \(\displaystyle{1\over n}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\left(\displaystyle{2\pi\over q}u_n\right)\) ?

5. Soit \(\alpha\) la valeur propre réelle de \(M\). Quelle est la nature de la série de terme général \(\displaystyle{1\over n}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\left(\displaystyle{2\pi\over q}\alpha^n\right)\) ?

[ev.algebre/ex2200] Soit la matrice : \[A=\left(\begin{array}{ccc}-2&5&7\\ -1&6&9\\0&-2&-3 \end{array}\right).\] Déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres. Est-elle diagonalisable ?

Exprimer si c’est le cas une matrice diagonale qui soit semblable à \(A\).

[examen/ex2522] imt PSI 2024 Soit \(M=\pmatrix{0&-a&-b\cr a&0&-c\cr b&c&0}\) avec \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\).

1. Trouver un polynôme annulateur de \(M\) de degré 3.

2. La matrice \(M\) est-elle inversible ? diagonalisable ?

3. Montrer que les valeurs propres de \(M^2\) sont négatives ou nulles.