Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex5590] ccinp PSI 2019 Soit \(u\) un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) tel que \(u^3=\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) et \(u\neq\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\).

1. Montrer que 1 est valeur propre de \(u\).

2. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\oplus\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u^2+u+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})=\mathbf{R}^3\).

3. Montrer qu’il existe une base dans laquelle la matrice de \(u\) est \(\pmatrix{0&0&1\cr1&0&0\cr0&1&0}\).

[oraux/ex7582] mines PC 2014 Soit \(z\in\mathbf{C}\). Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(z\) pour que la matrice \(\pmatrix{0&z&z\cr1&0&z\cr1&1&0}\) soit diagonalisable.

[concours/ex1689] polytechnique MP 1999 Soit \(M=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&1&0\end{array}\right)\).

1. Quelles sont les valeurs propres de \(M\) ?

2. On pose \(u_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M^n\) pour tout \(n\). Exprimer \(u_n\) à l’aide des valeurs propres de \(M\). Définir \(u_n\) par une relation de récurrence linéaire.

3. Soit un entier \(q\geqslant 2\). Étudier la suite \((u_n)\) modulo \(q\). On commencera par \(q=4\) puis \(q=5\).

4. Quelle est la nature de la série de terme général \(\displaystyle{1\over n}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\left(\displaystyle{2\pi\over q}u_n\right)\) ?

5. Soit \(\alpha\) la valeur propre réelle de \(M\). Quelle est la nature de la série de terme général \(\displaystyle{1\over n}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\left(\displaystyle{2\pi\over q}\alpha^n\right)\) ?

[examen/ex2519] imt PSI 2024 Étudier la diagonalisabilité de \(A=\pmatrix{a&0&b\cr0&a+b&0\cr b&0&a}\) pour \((a,b)\in\mathbf{C}^2\).

[concours/ex1081] polytechnique MP 1998 Soit \(M=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&1&0\end{array}\right) \in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\).

1. Étudier les valeurs propres de \(M\).

2. Soit \(\rho\) la valeur propre réelle, \(\sigma\) et \(\overline\sigma\) les valeurs propres non réelles. Montrer que \(\rho>1\) et \(|\sigma|<1\).

3. On pose \(u_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M^n\). Valeur de \(u_n\) en fonction de \(\rho\), \(\sigma\), \(\overline\sigma\) ? Formule de récurrence sur les \(u_n\) ?

4. Montrer que, pour tout \(\alpha\in\mathbf{R}\), les séries \(\sum\limits\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\alpha u_n)\) et \(\sum\limits\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\alpha\rho^n)\) sont de même nature.