Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex5031] mines PSI 2019 Pour \(c\in\mathbf{R}\), on note \(A(c)=\pmatrix{-c&-1&c\cr-1&1-c&1\cr c&-1&-c}\).

1. Déterminer les réels \(c\) tels que \(A(c)\) ne soit pas diagonalisable.

2. Soit \(d\) la plus petite de ces valeurs. Trouver \(P\) inversible telle que \(P^{-1}A(d)P\) soit triangulaire.

[planches/ex7390] ccinp PC 2021 Pour \(a\), \(b\) réels, on pose \(M(a,b)=\pmatrix{a&0&b\cr a&b&a\cr b&0&a}\) et \(J=M(0,1)\), \(K=M(1,0)\).

1. Déterminer les éléments propres des matrices \(J\) et \(K\).

2. Les matrices \(J\) et \(K\) ont-elles une base commune de vecteurs propres ?

[oraux/ex5807] tpe PSI 2012 Discuter de la diagonalisabilité et de la trigonalisabilité en fonction du paramètre réel \(a\) de \(\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&-a&a\end{array} \right)\).

[concours/ex9067] escp B/L 2010 On considère la matrice \(A= \left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right)\) et l’endomorphisme \(f\) de \(\mathbf{R}^3\) qui lui est canoniquement associé.

1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(f\). Cet endomorphisme est-il diagonalisable ?

2. 1. Démontrer que les deux sous-espaces vectoriels \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-Id)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits\left(\vphantom{|_|}\smash{(f-3Id)^2}\right)\) sont supplémentaires dans \(\mathbf{R}^3\).

   2. En déduire qu’il existe une base de \(\mathbf{R}^3\) dans laquelle la matrice de \(f\) est : \[T=\left(\begin{array}{ccc} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right).\]

3. Calculer \(T^n\) pour \(n\) entier naturel non nul. En déduire \(A^n\).

4. La matrice \(A\) est-elle inversible ? Si oui, donner l’expression de \((A^{-1})^n\) pour \(n \in \mathbf{N}^*\).

[ev.algebre/ex2298] Vrai ou faux ?

La matrice \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&-1\\0&1&3\\0&0&2\end{array}\right)\) est diagonalisable.

[planches/ex3909] centrale PSI 2018

1. Diagonaliser \(A=\pmatrix{0&-1&0\cr-2&2&-1\cr0&-1&0}\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) sans calculer le polynôme caractéristique.

2. Soit \(A=\pmatrix{\lambda&-a&0\cr-\alpha&\mu&-b\cr0&-\beta&\nu}\) avec \(a\alpha>0\) et \(b\beta>0\). Montrer que ses valeurs propres sont réelles et que \(A\) est diagonalisable.

[oraux/ex6038] escp S 2014 On note \(I_3\) la matrice identité de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).

1. Montrer qu’il existe un unique \(\alpha\in \mathbf{R}\) telle que la matrice \(J_\alpha=\pmatrix{\alpha& 0& 1\cr 1&1&1\cr {-2}&0&{-1}}\) soit une matrice de projecteur.

   On suppose désormais que \(\alpha\) prend cette valeur et on note \(J\) la matrice associée.

2. Pour tout \(x \in \mathbf{R}\), on pose \(F (x) = I_3 + (-1 + e^x )J\) et \(G(x) = I_3 - (1 + e^x )J\).

   Calculer, pour tout \((x,y)\in\mathbf{R}^2\), \(F (x)F (y)\).

   La matrice \(F(x)\) est-elle inversible ?

   La matrice \(G(x)\) est-elle inversible ?

3. Déterminer les éléments propres de \(J\).

4. Pour tout \((a,b)\in \mathbf{R}^2\), on pose \(M_{a,b} = aI_3 + bJ\). Montrer qu’il existe une matrice \(P\) inversible telle que, pour tout \((a,b)\in \mathbf{R}^2\), la matrice \(\Delta_{a,b}=P^{-1} M_{a,b} P\) soit une matrice diagonale que l’on explicitera.

5. Montrer que si \(M_{a,b}\) est inversible, alors : \[\exists x \in \mathbf{R},\ M_{a,b} = aF(x) \hbox{ ou } M_{a,b} = aG(x).\] Dans ce cas, calculer \(M_{a,b}^{-1}\) en fonction de \(a\), \(b\), \(J\) et \(I_3\).

6. On pose : \(\mathscr{C}_{a,b}=\{A\in \mathscr{M}_3(\mathbf{R})\ / \ AM_{a,b}=M_{a,b}A\}\).

   On suppose que \(M_{a,b}\) est inversible.

   Montrer que l’ensemble \(\mathscr{C}_{a,b}\) est un espace vectoriel et déterminer sa dimension.

[planches/ex5337] centrale MP 2019 (avec Python)

Pour \((a,b)\in\mathbf{C}^2\), soit \(M_{a,b}=\pmatrix{3a+2b&-4a-b&2a\cr2a+b&-3a-b&2a\cr b&-b&a}\).

On définit \(E=\{M_{a,b}\ ;\ (a,b)\in\mathbf{C}^2\}\). Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), soit \(R_n=\{M\in E\ ;\ M^n=I_3\}\).

1. Calculer \(M_{1,0}M_{0,1}\), \(M_{0,1}M_{1,0}\), \(M_{0,1}^2\) et \(M_{1,0}^2\).

2. Montrer que \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\). Est-ce une sous-algèbre de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) ?

3. Déterminer \(R_n\) pour \(n\in\mathbf{N}^*\).

4. Trouver \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_3(\mathbf{C})\) telle que \(P^{-1}M_{1,0}P\) soit diagonale et \(P^{-1}M_{1,0}P\) triangulaire supérieure.

5. Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \((a,b)\in\mathbf{C}^2\), calculer \(PM_{a,b}^nP^{-1}\) et retrouver \(R_n\).

[concours/ex9621] ccp MP 2006 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}3&-2&-2\\ -1&0&1\\1&1&0\end{array}\right)\). Trigonaliser \(A\) en précisant une matrice de passage.

[oraux/ex5806] ccp PSI 2012 Soient \(z\in \mathbf{C}\) et \(A(z)=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&z\\1&1&0\\1&0&1\end{array}\right)\).

1. Montrer que \(A(z)\) est diagonalisable sauf pour une valeur particulière de \(z\) que l’on précisera.

2. Soit \(\theta\in \mathbf{R}\setminus 2\pi\mathbf{Z}\). Montrer qu’il existe un unique \(z\in\mathbf{C}\) pour lequel \(e^{i\theta}\) est valeur propre de \(A(z)\). Déterminer cette valeur \(z(\theta)\) et calculer son module.

3. Tracer la courbe polaire \(\rho=|z(\theta)|\).

[concours/ex1575] ccp, tpe, int, ivp MP 1998 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc} 3&5&-1\\0&1&-3\\0&-1&3\end{array}\right)\). Montrer que toute matrice dont le carré est \(A\) est diagonalisable et trouver ces matrices.

[planches/ex7942] mines MP 2022 Soient \(A\), \(B\) dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(AB=\pmatrix{0&1&1\cr1&0&1\cr1&1&0}\). Montrer que \(BA\) est diagonalisable.

[planches/ex7387] imt PC 2021 Soit \(a>0\). On pose \(A=\pmatrix{0&a&a^2\cr1&0&1\cr1/a&1/a^2&0}\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Calculer ses espaces propres.

[concours/ex5076] escp S 1999 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}2&1&1\\ 1&2&1\\ 0&0&3\end{array}\right)\) et \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) de matrice \(A\) relativement à la base canonique.

1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(f\).

2. Montrer que les deux sous-espaces \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-id)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-3id)^2\) sont supplémentaires dans \(\mathbf{R}^3\). En déduire qu’il existe une base de \(\mathbf{R}^3\) dans laquelle la matrice de \(f\) est \(A'=\left(\begin{array}{ccc}3&1&0\\ 0&3&0\\ 0&0&1\end{array}\right)\). Calculer \(A'^n\), pour \(n\in\mathbf{N}^*\), en déduire \(A^n\).

[oraux/ex7493] mines alès MP 2013 Soit \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\), de trace nulle, de rang 2 et telle que \(A^3\neq0\). Étudier la diagonalisabilité de \(A\).

[planches/ex3728] mines PC 2018 Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) canoniquement associé à \(\pmatrix{1&2&0\cr2&1&0\cr0&1&0}\).

1. Soit \(a={}^t(1,-1,1)\). Calculer \(f(a)\).

2. Déterminer les éléments propres de \(f\).

3. Déterminer les \(g\in\mathscr{L}(\mathbf{R}^3)\) tels que \(f^3=g^3\).

[planches/ex8196] mines PSI 2022 Soient \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\in\mathbf{R}\), \(A=\pmatrix{\alpha^2&\alpha\beta&\alpha\gamma\cr\alpha\beta&\beta^2&\beta\gamma\cr\alpha\gamma&\beta\gamma&\gamma^2}\) et \(f\) l’endomorphisme canoniquement associé à la matrice \(A\).

1. Montrer qu’il existe un vecteur colonne \(C\) tel que \(A=CC^T\).

2. Déterminer le noyau et l’image de \(A\).

3. Chercher les éléments propres de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

4. Retrouver le résultat en remarquant que \(f\) est proportionnel à un projecteur.

[ev.algebre/ex2198] Soit la matrice : \[A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&-2\\ -1&2&-1\\ -1&1&0 \end{array}\right).\] Déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres. Est-elle diagonalisable ?

Exprimer si c’est le cas une matrice diagonale qui soit semblable à \(A\).

[planches/ex8705] hec B/L 2022 On note \(E\) l’espace vectoriel des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à 2. On définit les fonctions \(e_0\), \(e_1\), \(e_2\) par : \[\forall t\in\mathbf{R},\quad e_0(t)=1,\quad e_1(t)=t\quad\hbox{et}\quad e_2(t)=t^2.\] On rappelle que la famille \((e_0,e_1,e_2)\) est une base de \(E\). On considère l’application \(\varphi\) qui, à toute fonction \(P\) de \(E\), associe la fonction, notée \(\varphi(P)\), définie par : \[\forall x\in\mathbf{R},\quad\varphi(P)(x)=\int_0^1P(x+t)\,dt.\]

1. Question de cours : Critère d’inversibilité d’une matrice triangulaire.

2. Montrer que \(\varphi\) est un endomorphisme de \(E\).

3. 1. Écrire la matrice \(A\) de \(\varphi\) dans la base \((e_0,e_1,e_2)\).

   2. Justifier que \(\varphi\) est un automorphisme de \(E\).

   3. L’endomorphisme \(\varphi\) est-il diagonalisable ?

4. 1. Montrer que pour tout entier naturel \(n\), il existe un réel \(u_n\) tel que : \[A^n=\pmatrix{1&n/2&u_n\cr0&1&n\cr0&0&1}.\] Donner \(u_0\) et exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\).

   2. En déduire, par sommation, l’expression de \(u_n\) pour tout entier \(n\).

[concours/ex9540] centrale MP 2005 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&2\end{array}\right)\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Montrer que \(A\) est semblable à \(\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).

3. Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{N}\).