Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex2185] mines PC 2024 Soit \(a\) un réel. On pose \(g:t\mapsto\displaystyle\frac{a\,e^t}{2-t}\).

1. Montrer qu’il existe une unique valeur de \(a\) pour laquelle il existe une variable aléatoire \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\) dont \(g\) soit la fonction génératrice.

   On suppose maintenant que \(a\) est égal à cette valeur et que \(X\) est une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{N}\) dont \(g\) est la fonction génératrice.

2. Trouver la probabilité que \(X\) soit pair.

3. Quelle est la probabilité que la matrice \(\pmatrix{X&X&0\cr-X&-X&0\cr X&X&0}\) soit diagonalisable ?

[concours/ex9578] ccp PSI 2005 Soit \(\alpha\in[-1,1]\) et \(A_\alpha=\left(\begin{array}{ccc} \alpha^2&\alpha\sqrt{1-\alpha^2}&\sqrt{1-\alpha^2}\\ \alpha\sqrt{1-\alpha^2}&1-\alpha^2&-\alpha\\ \sqrt{1-\alpha^2}&-\alpha&0\end{array}\right)\). Calculer le déterminant, la trace et les valeurs propres réelles de \(A_\alpha\). Cette matrice est-elle diagonalisable dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) ?

[oraux/ex6832] hec B/L 2016 Soit \(E=\mathbf{R}_2[X]\) l”espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 2.

On note \(\mathscr{B}=(1,X,X^2)\) la base canonique de \(E\) et \(\mathscr{C}=\left(\vphantom{|_|}(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\right)\) la base canonique de \(\mathbf{R}^3\).

On pose : \(Q_0=-X^2+1\), \(Q_1=\displaystyle{1\over2}(X^2+X)\) et \(Q_3=\displaystyle{1\over2}(X^2-X)\).

1. Question de cours : Valeur propre et vecteur propre d’un endomorphisme.

2. 1. Montrer que \(\mathscr{V}=(Q_0,Q_1,Q_2)\) est une base de \(E\). Donner la matrice de passage \(A\) de \(\mathscr{B}\) vers \(\mathscr{V}\).

   2. Soit \(\Phi\) l’application de \(E\) dans \(\mathbf{R}^3\) définie par : pour tout \(P\in E\), \(\Phi(P)=\left(\vphantom{|_|}P(0),P(1),P(-1)\right)\). Montrer que \(\Phi\) est linéaire et bijective.

   3. Déterminer la matrice \(A^{-1}\).

3. Soit \(\theta\) l’application de \(\mathbf{R}^3\) dans \(E\) définie par : \(\theta(a,b,c)=a+bX+cX^2\).

   1. Montrer que \(\theta\) est une application linéaire bijective.

   2. Donner la matrice de \(\theta\) lorsque \(\mathbf{R}^3\) est muni de sa base canonique \(\mathscr{C}\) et \(E\) de la base \(\mathscr{V}\).

4. On pose : \(\Psi=\Phi\mathbin{\circ}\theta\).

   1. Justifier que \(\Psi\) est un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) et donner sa matrice dans la base canonique \(\mathscr{C}\).

   2. Montrer que 1 est valeur propre de \(\Psi\) et donner un vecteur propre associé.

[concours/ex4529] escp S 2005

1. Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\ 0&0&-1\\ 1&-1&-1\end{array}\right)\) et \(B=\left(\begin{array}{ccc}1&-1&0\\ -1&1&0\\ 0&0&2\end{array}\right)\).

   1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs colonnes propres des matrices \(A\) et \(B\).

   2. En déduire les valeurs propres de la matrice \(M(a,b)=\left(\begin{array}{ccc}b&-b& a\\ -b& b& -a\\ a&-a&2b-a\end{array}\right)\), où \(a\) et \(b\) sont deux paramètres réels.

2. Soit \(n\) un entier naturel non nul. On note \(\mathbf{R}_n[X]\) l’espace vectoriel constitué des polynômes à coefficients réels dont le degré est inférieur ou égal à \(n\).

   Soit \((a_0,\ldots,a_n)\in\mathbf{R}^{n+1}\) ; on définit l’application \(\theta\) de \(\mathbf{R}_n[X]\) vers \(\mathbf{R}^{n+1}\) par : \(\theta(P)=\bigl(P(a_0),\ldots,P(a_n)\bigr)\).

   1. Montrer que si \(\theta\) est bijective, alors les nombres \(a_0\), … , \(a_n\) sont deux à deux distincts.

   2. Réciproquement, montrer que si les \(a_k\) sont deux à deux distincts, alors \(\theta\) est bijective.

3. 1. Existe-t-il un polynôme \(P\) à coefficients réels tel que \(P(A)=B\) ? Si oui, déterminer un tel polynôme.

   2. Répondre à la même question en échangeant les rôles de \(A\) et \(B\).

[concours/ex5039] escp B/L 2000 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&0\\1&1&1\\0&-1&1\end{array}\right)\in{\cal M}_3(\mathbf{R})\).

1. Déterminer les éléments propres de la matrice \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Montrer que la matrice \(A\) est semblable à la matrice \(\left(\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).

[examen/ex0369] hec E 2023 Soit \(\alpha\) un nombre réel. On considère la matrice : \[A_\alpha=\pmatrix{-1&2-\alpha&-\alpha\cr-\alpha&1&-\alpha\cr2&\alpha-2&\alpha+1}\] et on note \(\phi_\alpha\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) représenté par \(A_\alpha\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\).

On appelle \(f_1\) le vecteur \(\pmatrix{1\cr1\cr-1}\) et \(f_2\) le vecteur \(\pmatrix{1\cr1\cr-2}\).

1. Question de cours : critère de diagonalisabilité d’une matrice selon les sous-espaces propres.

2. 1. Montrer que, quelque soit \(\alpha\), la matrice \(A_\alpha\) admet la valeur propre 1.

   2. On note \(E_1(\alpha)\) le sous-espace propre de \(A_\alpha\) associé à la valeur propre 1. Déterminer, suivant les valeurs de \(\alpha\), une base de \(E_1(\alpha)\).

3. On note \(F=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(f_1,f_2)\).

   1. Montrer que l’image par \(\phi_\alpha\) de tout vecteur de \(F\) appartient à \(F\).

   2. On appelle \(\widehat{\phi_\alpha}\) l’endomorphisme de \(F\) induit par \(\phi_\alpha\), c’est-à-dire vérifiant, pour tout vecteur \(V\) de \(F\), \(\widehat{\phi_\alpha}(V)=\phi_\alpha(V)\).

      Donner une matrice de \(\widehat{\phi_\alpha}\).

4. Montrer que pour tout réel \(\alpha\), \(\alpha-1\) est une valeur propre de \(A_\alpha\) et que l’on peut trouver un vecteur \(f_3\) de \(\mathbf{R}^3\) ne dépendant pas de \(\alpha\), qui soit, pour tout réel \(\alpha\), vecteur propre de \(A_\alpha\) associé à la valeur propre \(\alpha-1\).

5. Pour quelles valeurs du paramètre \(\alpha\) la matrice \(A_\alpha\) est-elle diagonalisable ?

[examen/ex0594] imt MP 2023 Soient \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{R}^{+*}\) et \(M=\pmatrix{1&\frac ba&\frac ca\cr\frac ab&1&\frac cb\cr\frac ac&\frac bc&1}\). Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de \(M\).

[oraux/ex0013] centrale PC 2010 Montrer que \(M=\left(\begin{array}{ccc}6&-6&5\\14&-13&10\\ 7&-6&4\end{array}\right)\) et \(N=\left(\begin{array}{ccc}-1&0&0\\1&-1&0\\ 0&0&-1\end{array}\right)\) sont semblables.

[oraux/ex6247] hec courts E 2015 On considère la matrice \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\) de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).

1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? inversible ?

2. On note \(I\) la matrice identité de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\). Établir l’existence d’une matrice \(N\) telle que \(A=I+N\). Déterminer pour tout \(k\in\mathbf{N}\), la matrice \(A^k\).

3. On rappelle l’identité remarquable : \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\). Déterminer \(A^{-1}\).

[concours/ex9807] mines MP 2009 Soit \(M_\lambda=\left(\begin{array}{ccc}-1&-\lambda&-\lambda\\0&-1&1\\ 1&0&-1\end{array}\right)\). Déterminer les espaces propres de \(M_\lambda\) suivant \(\lambda\).

[planches/ex3427] mines MP 2018 Soient \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{R}_+^*\setminus\{1\}\). Réduire la matrice : \[\pmatrix{0&\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_ba&\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_ca\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_ab&0&\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_cb\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_ac&\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits_bc&0}.\]

[planches/ex5518] tpe MP 2019 Montrer de deux manières différentes que \(\pmatrix{0&1&2\cr1&0&1\cr1&0&0}\) et \(\pmatrix{0&1&1\cr1&0&2\cr0&1&0}\) sont semblables.

[oraux/ex8653] ccp PC 2016 On pose \(A=\pmatrix{2&1&-4\cr0&1&-2\cr1&1&-3}\), \(B=\pmatrix{1&1&-2\cr2&2&-4\cr1&1&-2}\).

1. Calculer \(A^2\), \(A^3\). En déduire une expression de \(A^n\) pour tout \(n\in\mathbf{N}\).

2. Calculer les valeurs propres de \(A\). Est-elle diagonalisable ?

3. Montrer que les vecteurs propres de \(A\) sont aussi des vecteurs propres de \(B\). La matrice \(B\) est-elle diagonalisable ?

4. Soient \((x,y)\in\mathbf{R}^2\) et \(M(x,y)=xA+yB\). Montrer que \(M(x,y)\) est diagonalisable et donner l’expression de \((M(x,y))^n\) pour tout \(n\in\mathbf{N}\).

[concours/ex9621] ccp MP 2006 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}3&-2&-2\\ -1&0&1\\1&1&0\end{array}\right)\). Trigonaliser \(A\) en précisant une matrice de passage.

[oraux/ex7783] mines PC 2016 Soit \(M(\alpha)=\pmatrix{0&0&\alpha\cr1&0&1\cr0&1&0}\) pour \(\alpha\in\mathbf{C}\). Déterminer les valeurs de \(\alpha\) pour lesquelles \(M(\alpha)\) possède une valeur propre de module 1.

[ev.algebre/ex2198] Soit la matrice : \[A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&-2\\ -1&2&-1\\ -1&1&0 \end{array}\right).\] Déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres. Est-elle diagonalisable ?

Exprimer si c’est le cas une matrice diagonale qui soit semblable à \(A\).

[oraux/ex8592] PSI 2016 Soit \(A=\pmatrix{5&1&-1\cr2&4&-2\cr1&-1&3}\).

1. Montrer que \(A\) est diagonalisable.

2. Calculer \(A^n\).

3. Soient \(u_0=v_0=w_0=1\) et \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(\cases{u_{n+1}=5u_n+v_n-w_n\cr v_{n+1}=2u_n+4v_n-2w_n\cr w_{n+1}=u_n-v_n+3w_n}\).

   Pour \(n\in\mathbf{N}\), calculer \(u_n\), \(v_n\), \(w_n\).

[concours/ex9456] mines 2004 Diagonaliser \(\left(\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{array}\right)\).

[examen/ex2033] mines PC 2024 Soit \(\alpha\in\mathbb{C}\). La matrice \(M=\pmatrix{1&\alpha&0\cr\alpha&0&1\cr0&1&-1}\) est-elle diagonalisable ?

[planches/ex4129] imt PC 2018 Soit \(J=\pmatrix{-1&0&1\cr1&1&1\cr0&1&2}\).

1. Calculer \(J^2\). La matrice \(J\) est-elle inversible ?

2. Montrer que \(J\) est diagonalisable et donner ses valeurs propres.

3. Soit \((a,b)\in\mathbf{R}^2\). On pose \(M(a,b)=aI_3+bJ\). Montrer que \(M\) est diagonalisable et donner ses valeurs propres.

4. On pose \(F:x\mapsto(-1+e^x)J+I_3\). Calculer \(F(x)F(y)\) pour \((x,y)\in\mathbf{R}^2\).