Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex2297] mines PC 2017

1. Soit \(A=\pmatrix{-4&-6&0\cr3&-5&0\cr3&6&-5}\). Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{N}^*\).

2. Soient \((u_n)_{n\geqslant 0}\), \((v_n)_{n\geqslant 0}\), \((w_n)_{n\geqslant 0}\) trois suites vérifiant, pour tout \(n\) dans \(\mathbf{N}\), \[u_{n+1}=-4u_n-6v_n,\quad v_{n+1}=3u_n-5v_n,\quad w_{n+1}=3u_n+6v_n-5w_n.\] Exprimer \(u_n\), \(v_n\) et \(w_n\) en fonction de \(u_0\), \(v_0\), \(w_0\) et \(n\).

[ev.algebre/ex2186] La matrice \(A=\displaystyle\left(\begin{array}{ccc} 1&0&2\\0&2&0\\2&0&1 \end{array}\right)\) est-elle diagonalisable ? Si oui, la diagonaliser.

[examen/ex3547] mines PSI 2025 Soit \(A=\pmatrix{0&-3&5\cr-1&-2&5\cr-1&-3&6}\).

1. Déterminer les valeurs propres de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Montrer que, pour tout \(n\in\mathbf{N}\), il existe des réels \(a_n\) et \(b_n\) tels que \(A^n=a_nI_3+b_nA\).

3. La matrice \(A\) est-elle inversible ? Le résultat de la question précédente reste-t-il valable pour tout \(n\in\mathbf{Z}\) ?

4. Existe-t-il \((\alpha,\beta)\in\mathbf{R}^2\) tel que \(M=\alpha I_3+\beta A\) et \(M^2=A\) ?

[examen/ex2182] mines PC 2024 Soit \(Z\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbf{Z}\) telle que \(|Z|+1\sim\mathscr{G}(p)\) et telle que \(\forall n\in\mathbf{Z}\), \(\mathbf{P}(Z=n)=\mathbf{P}(Z=-n)\). Soit \(A=\pmatrix{0&Z&Z\cr Z&0&1\cr 1&1&0}\).

1. Déterminer la loi du rang de \(A\).

2. Déterminer la probabilité pour que \(A\) soit diagonalisable.

[concours/ex9578] ccp PSI 2005 Soit \(\alpha\in[-1,1]\) et \(A_\alpha=\left(\begin{array}{ccc} \alpha^2&\alpha\sqrt{1-\alpha^2}&\sqrt{1-\alpha^2}\\ \alpha\sqrt{1-\alpha^2}&1-\alpha^2&-\alpha\\ \sqrt{1-\alpha^2}&-\alpha&0\end{array}\right)\). Calculer le déterminant, la trace et les valeurs propres réelles de \(A_\alpha\). Cette matrice est-elle diagonalisable dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) ?

[oraux/ex6832] hec B/L 2016 Soit \(E=\mathbf{R}_2[X]\) l”espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 2.

On note \(\mathscr{B}=(1,X,X^2)\) la base canonique de \(E\) et \(\mathscr{C}=\left(\vphantom{|_|}(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\right)\) la base canonique de \(\mathbf{R}^3\).

On pose : \(Q_0=-X^2+1\), \(Q_1=\displaystyle{1\over2}(X^2+X)\) et \(Q_3=\displaystyle{1\over2}(X^2-X)\).

1. Question de cours : Valeur propre et vecteur propre d’un endomorphisme.

2. 1. Montrer que \(\mathscr{V}=(Q_0,Q_1,Q_2)\) est une base de \(E\). Donner la matrice de passage \(A\) de \(\mathscr{B}\) vers \(\mathscr{V}\).

   2. Soit \(\Phi\) l’application de \(E\) dans \(\mathbf{R}^3\) définie par : pour tout \(P\in E\), \(\Phi(P)=\left(\vphantom{|_|}P(0),P(1),P(-1)\right)\). Montrer que \(\Phi\) est linéaire et bijective.

   3. Déterminer la matrice \(A^{-1}\).

3. Soit \(\theta\) l’application de \(\mathbf{R}^3\) dans \(E\) définie par : \(\theta(a,b,c)=a+bX+cX^2\).

   1. Montrer que \(\theta\) est une application linéaire bijective.

   2. Donner la matrice de \(\theta\) lorsque \(\mathbf{R}^3\) est muni de sa base canonique \(\mathscr{C}\) et \(E\) de la base \(\mathscr{V}\).

4. On pose : \(\Psi=\Phi\mathbin{\circ}\theta\).

   1. Justifier que \(\Psi\) est un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) et donner sa matrice dans la base canonique \(\mathscr{C}\).

   2. Montrer que 1 est valeur propre de \(\Psi\) et donner un vecteur propre associé.

[concours/ex9621] ccp MP 2006 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}3&-2&-2\\ -1&0&1\\1&1&0\end{array}\right)\). Trigonaliser \(A\) en précisant une matrice de passage.

[planches/ex2528] centrale PSI 2017 Soient \(A\in\mathscr{M}_{2,3}(\mathbf{R})\) et \(B\in\mathscr{M}_{3,2}(\mathbf{R})\) deux matrices telles que \(AB=\pmatrix{1&0&x\cr0&1&0\cr1&0&1}\).

1. La matrice \(AB\) est-elle inversible ? Quelles sont les valeurs de \(x\) possibles ?

2. La matrice \(BA\) est-elle diagonalisable ?

3. Montrer que \(\mathbf{R}^3=\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits A\oplus\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits B\).

4. Montrer qu’il existe une infinité de couples de matrices \((A,B)\) vérifiant l’hypothèse donnée dans cet exercice.

[oraux/ex0013] centrale PC 2010 Montrer que \(M=\left(\begin{array}{ccc}6&-6&5\\14&-13&10\\ 7&-6&4\end{array}\right)\) et \(N=\left(\begin{array}{ccc}-1&0&0\\1&-1&0\\ 0&0&-1\end{array}\right)\) sont semblables.

[concours/ex9614] centrale PC 2006 Soit \(M(a,b,c)\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) définie par : \(M(a,b,c)=\left(\begin{array}{ccc}a&c&b\\b&a+c&b+c\\c&b&a+c\end{array}\right)\). La matrice \(M(a,b,c)\) est-elle diagonalisable ? On pourra introduire \(M(0,1,0)\).

[planches/ex4130] ccp PC 2018 Soit \(A=\pmatrix{0&5/4&2\cr2&0&-2\cr0&3/4&2}\).

1. Diagonaliser \(A\).

2. En déduire l’ensemble \(\{M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R}),\ AM=MA\}\).

[concours/ex9897] ccp PC 2009 Soit \(J=\left(\begin{array}{ccc}-1&0&-2\\1&1&1\\1&0&2\end{array}\right)\).

1. Calculer \(J^2\). La matrice \(J\) est-elle inversible ? Montrer que \(J\) est diagonalisable et déterminer ses valeurs propres.

2. Soit \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) et \(M(a,b)=aI_3+bJ\). Montrer que \(M(a,b)\) est diagonalisable et déterminer ses valeurs propres. À quelle condition est-elle inversible ?

3. Si \(x\in\mathbf{R}\), on pose \(F(x)=I_3+(-1+e^x)J\) et \(G(x)=I_3-(1+e^x)J\). Calculer \(F(x)F(y)\) et \(G(x)G(y)\) pour \((x,y)\in\mathbf{R}^2\). En déduire que \(F(x)\) et \(G(x)\) sont inversibles et déterminer leurs inverses.

[ev.algebre/ex2198] Soit la matrice : \[A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&-2\\ -1&2&-1\\ -1&1&0 \end{array}\right).\] Déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres. Est-elle diagonalisable ?

Exprimer si c’est le cas une matrice diagonale qui soit semblable à \(A\).

[planches/ex2311] mines PC 2017 Soit \(A=\pmatrix{2&0&1\cr1&1&0\cr-1&1&3}\). Réduire la matrice \(A\).

[examen/ex4031] imt MP 2025 Pour tout \(c\in\mathbf{R}\), on considère la matrice \(A(c)=\pmatrix{-c&1&-1\cr1&1-c&1\cr-1&-1&-c}\).

1. La matrice \(A(c)\) est-elle diagonalisable ?

2. Trouver \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_3(\mathbf{R})\) telle que la matrice \(P^{-1}A(c)P\) soit triangulaire supérieure.

[oraux/ex8593] ccp PSI 2016 Soit \(A=\pmatrix{1&0&2\cr1&1&1\cr-1&0&-2}\).

1. Diagonaliser \(A\) (donner \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_3(\mathbf{R})\) et \(D\) diagonale telles que \(A=PDP^{-1}\)).

2. Soit \((\alpha,\beta)\in\mathbf{R}^2\). La matrice \(\alpha A+\beta I_3\) est-elle diagonalisable ?

[concours/ex9087] hec courts S 2010

1. La matrice \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&1&0\\0&0&0\end{array}\right)\) est-elle diagonalisable ?

2. soit \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension 3 et \(u\) un endomorphisme de \(E\) tel que \(u^2\) soit un projecteur de rang égal à 1.

   1. Montrer que 0 est valeur propre de \(u\) et que \(u\) possède au plus une autre valeur propre, égale à \(+1\) ou à \(-1\).

   2. Montrer que, si \(u\) admet 1 pour valeur propre et n’est pas lui-même un projecteur, il existe une base de \(E\) dans laquelle la matrice de \(u\) est \(A\).

[oraux/ex6038] escp S 2014 On note \(I_3\) la matrice identité de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).

1. Montrer qu’il existe un unique \(\alpha\in \mathbf{R}\) telle que la matrice \(J_\alpha=\pmatrix{\alpha& 0& 1\cr 1&1&1\cr {-2}&0&{-1}}\) soit une matrice de projecteur.

   On suppose désormais que \(\alpha\) prend cette valeur et on note \(J\) la matrice associée.

2. Pour tout \(x \in \mathbf{R}\), on pose \(F (x) = I_3 + (-1 + e^x )J\) et \(G(x) = I_3 - (1 + e^x )J\).

   Calculer, pour tout \((x,y)\in\mathbf{R}^2\), \(F (x)F (y)\).

   La matrice \(F(x)\) est-elle inversible ?

   La matrice \(G(x)\) est-elle inversible ?

3. Déterminer les éléments propres de \(J\).

4. Pour tout \((a,b)\in \mathbf{R}^2\), on pose \(M_{a,b} = aI_3 + bJ\). Montrer qu’il existe une matrice \(P\) inversible telle que, pour tout \((a,b)\in \mathbf{R}^2\), la matrice \(\Delta_{a,b}=P^{-1} M_{a,b} P\) soit une matrice diagonale que l’on explicitera.

5. Montrer que si \(M_{a,b}\) est inversible, alors : \[\exists x \in \mathbf{R},\ M_{a,b} = aF(x) \hbox{ ou } M_{a,b} = aG(x).\] Dans ce cas, calculer \(M_{a,b}^{-1}\) en fonction de \(a\), \(b\), \(J\) et \(I_3\).

6. On pose : \(\mathscr{C}_{a,b}=\{A\in \mathscr{M}_3(\mathbf{R})\ / \ AM_{a,b}=M_{a,b}A\}\).

   On suppose que \(M_{a,b}\) est inversible.

   Montrer que l’ensemble \(\mathscr{C}_{a,b}\) est un espace vectoriel et déterminer sa dimension.

[concours/ex9105] hec courts E 2010 On note \(\mathscr{B}=(e_1,e_2,e_3)\) la base canonique de \(\mathbf{R}^3\).

Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice dans la base \(\mathscr{B}\) est \(M=\left(\begin{array}{ccc}1&-1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{array}\right)\).

Calculer \(f(e_1+e_2+e_3)\), \(f(e_2)\), \(f(-e_1+e_3)\).

Montrer que \(M\) est semblable à la matrice \(M'=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{array}\right)\).

\(M\) est-elle diagonalisable ?

[planches/ex5177] mines PC 2019 Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) canoniquement associé à la matrice \(A=\pmatrix{1&0&1\cr-1&2&1\cr1&-1&1}\).

1. Montrer que \(f\) est trigonalisable dans \(\mathbf{R}\).

2. Montrer que l’espace propre associé à la valeur propre 1 est de dimension 1 et contient le vecteur \(u={}^t(1,1,0)\).

3. On pose \(v={}^t(0,0,1)\). Calculer \((f-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})(v)\).

4. Déterminer un vecteur propre \(w\in\mathbf{R}^3\) de l’endomorphisme \(f\) associé à la valeur propre 2 et montrer que la famille \((u,v,w)\) est une base de \(\mathbf{R}^3\).

5. Calculer, pour \(k\in\mathbf{N}\), \(f_k(v)\) et en déduire \(T^k\) où \(T\) désigne la matrice de \(f\) dans la base \((u,v,w)\).

6. Calculer \(A^k\) pour \(k\in\mathbf{N}\).