Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7625] ccp PSI 2014 Soit \(J=\pmatrix{0&1&0\cr1&0&1\cr0&1&0}\) et \(K=\pmatrix{0&0&1\cr0&1&0\cr1&0&0}\). Montrer que \(J\) et \(K\) sont diagonalisables dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) et déterminer leurs éléments propres. Diagonaliser \(\pmatrix{a&b&c\cr b&a+c&b\cr c&b&a}\).

[oraux/ex8603] PSI 2016 Soient \((a,b,c)\in\mathbf{C}^3\), \(M=\pmatrix{a&c&b\cr c&a+b&c\cr b&c&a}\) et \(K=\pmatrix{0&1&0\cr1&0&1\cr0&1&0}\).

1. Diagonaliser \(K\).

2. Exprimer \(M\) à l’aide des puissances de \(K\).

3. Montrer que \(M\) est diagonalisable.

[planches/ex4066] ccp PSI 2018

1. Diagonaliser \(K=\pmatrix{0&1&0\cr1&0&1\cr0&1&0}\).

2. Écrire \(M=\pmatrix{a&c&b\cr c&a+b&c\cr b&c&a}\) à l’aide de puissances de \(K\).

3. Diagonaliser \(M\) et calculer \(M^n\).

[concours/ex9788] polytechnique PC 2009

1. La matrice \(J=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{array}\right)\) est-elle diagonalisable sur \(\mathbf{R}\) ? sur \(\mathbf{C}\) ?

2. La matrice \(M=\left(\begin{array}{ccc}a&b&c\\c&a&b\\b&c&a\end{array}\right)\) avec \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) est-elle diagonalisable sur \(\mathbf{R}\) ?

[ev.algebre/ex2146] Diagonaliser (si possible) la matrice \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{array}\right)\).

[oraux/ex6254] hec courts E 2015 Soit \(a\), \(b\) et \(c\) des réels non nuls vérifiant \(a^2+b^2+c^2=1\). On pose : \(U=\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right)\in\mathscr{M}_{3,1}(\mathbf{R})\).

1. 1. Calculer la matrice \(M=U{}^tU\) (où \({}^tU\) est la matrice transposée de la matrice-colonne \(U\)).

   2. \(M\) est-elle diagonalisable ? inversible ?

2. 1. Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), calculer \(M^n\).

   2. Quelles sont les valeurs propres de \(M\) est les sous-espaces propres associés ?

[oraux/ex7751] mines MP 2016 Pour quels nombres réels \(a\) la matrice \(\pmatrix{0&0&a\cr1&0&0\cr1&1&0}\) est-elle diagonalisable sur \(\mathbf{R}\) ?

[planches/ex6961] mines PC 2021 Soient \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\). Déterminer les éléments propres de \(\pmatrix{a&b&c\cr b&a+c&b\cr c&b&a}\).

[concours/ex9563] centrale PC 2005 Soit \(M=\left(\begin{array}{ccc}a&c&b\\c&a+b&c\\b&c&a\end{array} \right)\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).

1. Montrer que \(M\) est diagonalisable.

2. Trouver \(\alpha\in\mathbf{R}\) et \(J\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) tels que \(M=\alpha I_3+cJ+bJ^2\).

3. Trouver les éléments propres de \(M\).

[examen/ex0810] PC 2023 Soient \(J=\pmatrix{0&1&0\cr0&0&1\cr1&0&0}\) et \(M=\pmatrix{x&z&y\cr y&x&z\cr z&y&x}\). Calculer \(J^2\) et \(J^3\). Exprimer \(M\) à l’aide de \(J\), \(J^2\) et \(J^3\). Montrer que \(J\) est diagonalisable. Qu’en est-il de \(M\) ?

[concours/ex5595] mines MP 2007 Soit \(j=e^{2i\pi/3}\). La matrice \(\left(\begin{array}{ccc}1&j&j^2\\j&j^2&1\\j^2&1&j\end{array}\right)\) est-elle diagonalisable ?

[concours/ex0990] ccp MP 1997 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}a&c&b\\c&a+b&c\\b&c&a \end{array}\right)\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\). Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{Z}\).

[planches/ex5684] imt PC 2019 Soit \(J=\pmatrix{0&1&0\cr0&0&1\cr1&0&0}\). Pour \((a,b,c)\in\mathbf{C}^3\), on pose \(M(a,b,c)=aI_3+bJ+cJ^2\).

1. Montrer que les matrices \(M(a,b,c)\), pour \((a,b,c)\in\mathbf{C}^3\), commutent entre elles.

2. Montrer que \(J\) est diagonalisable. Préciser ses éléments propres.

3. Soit \((a,b,c)\in\mathbf{C}^3\). Montrer que \(M(a,b,c)\) est diagonalisable et déterminer ses éléments propres.

[concours/ex9454] mines 2004 Soient \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) et \(M=\left(\begin{array}{ccc}a&b&c\\c&a&b\\b&c&a\end{array}\right)\).

1. Montrer que \(M\) est diagonalisable sur \(\mathbf{C}\).

2. La matrice \(M\) est-elle diagonalisable sur \(\mathbf{R}\) ?

[ev.algebre/ex2191] Soit \(a\), \(b\), \(c\) trois nombres réels. On considère l’endomorphisme \(u\) de \(\mathbf{R}^3\), muni de la base \(\mathscr{B}=\{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}\), dont la matrice dans \(\mathscr{B}\) est : \[A=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&c\\0&b&0\\a&0&0\end{array}\right).\]

1. Montrer que \(\lambda\) est une valeur propre de \(u\) si et seulement si : \[(\lambda-b)(\lambda^2-ac)=0.\]

2. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(u\), en distinguant \(b^2\neq ac\) et \(b^2=ac\).

3. A quelles conditions sur \(a\), \(b\), \(c\), \(u\) est-il diagonalisable ?

[oraux/ex6133] escp courts 2013 Soient \(a\), \(b\), \(c\) trois réels non nuls, et \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&c^2\\0&b^2&0\\a^2&0&0\end{array}\right)\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\). Étudier la diagonalisabilité de la matrice \(A\).

[concours/ex9725] centrale MP 2008 (avec Maple)

Pour \(a\in\mathbf{R}\), on pose \(M_a=\left(\begin{array}{ccc}0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits a&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2a)\\\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits a&0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2a)\\\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2a)&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits a&0\end{array}\right)\).

1. La matrice \(M_a\) est-elle diagonalisable ?

2. Calculer \(M_a^m\) pour \(m\in\mathbf{N}\).

[concours/ex9755] ensiie PSI 2008 Soient \(a\in\mathbf{R}\setminus\pi\mathbf{Z}\) et \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits a&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2a\\\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits a&0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2a\\\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2a&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits a&0\end{array}\right)\).

1. Donner les valeurs propres de \(A\).

2. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? La diagonaliser quand c’est possible.

[planches/ex7385] ccinp PC 2021 Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) pour que la matrice \(M=\pmatrix{0&0&c^2\cr0&b^2&0\cr a^2&0&0}\) soit diagonalisable.

[planches/ex8986] ccinp PC 2022 Soit \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) et \(M=\pmatrix{0&0&c^2\cr0&b^2&0\cr a^2&0&0}\). Déterminer les valeurs propres de \(M\) en fonction de \(a\), \(b\) et \(c\).