Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex5039] escp B/L 2000 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&0\\1&1&1\\0&-1&1\end{array}\right)\in{\cal M}_3(\mathbf{R})\).

1. Déterminer les éléments propres de la matrice \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Montrer que la matrice \(A\) est semblable à la matrice \(\left(\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).

[examen/ex2046] mines PC 2024 Soient \(A=\pmatrix{0&0&1\cr1&0&0\cr0&1&0}\) et \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbb{R})\) telle que \(M^3=I_3\) et \(M\neq I_3\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable dans \(\mathscr{M}_3(\mathbb{C})\) ? dans \(\mathscr{M}_3(\mathbb{R})\) ? Donner ses valeurs propres.

2. La matrice \(M\) est-elle diagonalisable dans \(\mathscr{M}_3(\mathbb{C})\) ? Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits_\mathbf{C}(M)\subset\{1,j,j^2\}\) et que les multiplicités de \(j\) et \(j^2\) sont les mêmes. Donner le spectre de \(M\).

3. Montrer que \(A\) et \(M\) sont semblables dans \(\mathscr{M}_3(\mathbb{C})\), puis dans \(\mathscr{M}_3(\mathbb{R})\).

[planches/ex8705] hec B/L 2022 On note \(E\) l’espace vectoriel des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à 2. On définit les fonctions \(e_0\), \(e_1\), \(e_2\) par : \[\forall t\in\mathbf{R},\quad e_0(t)=1,\quad e_1(t)=t\quad\hbox{et}\quad e_2(t)=t^2.\] On rappelle que la famille \((e_0,e_1,e_2)\) est une base de \(E\). On considère l’application \(\varphi\) qui, à toute fonction \(P\) de \(E\), associe la fonction, notée \(\varphi(P)\), définie par : \[\forall x\in\mathbf{R},\quad\varphi(P)(x)=\int_0^1P(x+t)\,dt.\]

1. Question de cours : Critère d’inversibilité d’une matrice triangulaire.

2. Montrer que \(\varphi\) est un endomorphisme de \(E\).

3. 1. Écrire la matrice \(A\) de \(\varphi\) dans la base \((e_0,e_1,e_2)\).

   2. Justifier que \(\varphi\) est un automorphisme de \(E\).

   3. L’endomorphisme \(\varphi\) est-il diagonalisable ?

4. 1. Montrer que pour tout entier naturel \(n\), il existe un réel \(u_n\) tel que : \[A^n=\pmatrix{1&n/2&u_n\cr0&1&n\cr0&0&1}.\] Donner \(u_0\) et exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\).

   2. En déduire, par sommation, l’expression de \(u_n\) pour tout entier \(n\).

[oraux/ex7783] mines PC 2016 Soit \(M(\alpha)=\pmatrix{0&0&\alpha\cr1&0&1\cr0&1&0}\) pour \(\alpha\in\mathbf{C}\). Déterminer les valeurs de \(\alpha\) pour lesquelles \(M(\alpha)\) possède une valeur propre de module 1.

[planches/ex4129] imt PC 2018 Soit \(J=\pmatrix{-1&0&1\cr1&1&1\cr0&1&2}\).

1. Calculer \(J^2\). La matrice \(J\) est-elle inversible ?

2. Montrer que \(J\) est diagonalisable et donner ses valeurs propres.

3. Soit \((a,b)\in\mathbf{R}^2\). On pose \(M(a,b)=aI_3+bJ\). Montrer que \(M\) est diagonalisable et donner ses valeurs propres.

4. On pose \(F:x\mapsto(-1+e^x)J+I_3\). Calculer \(F(x)F(y)\) pour \((x,y)\in\mathbf{R}^2\).

[concours/ex9457] mines 2004 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&1\\1&1&0\\1&0&1\end{array}\right)\). Éléments propres ? diagonalisabilité ? Calcul de \(A^n\).

[concours/ex2932] ccp M 1994 La matrice \(\left(\begin{array}{ccc} 2&0&-2\\3&-3&0\\8&-6&2\end{array}\right)\) est-elle trigonalisable ?

[concours/ex5003] escp B/L 1999 Soit \(M_a=\left(\begin{array}{ccc}a+1&1-a&a-1\\ -1&3&2a-3\\ a-2&2-a&3a-2\end{array}\right)\in{\cal M}_3(\mathbf{R})\), \(a\) étant un paramètre réel.

On note \(f_a\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) associé à \(M_a\) relativement à la base canonique de \(\mathbf{R}^3\).

Déterminer les valeurs propres de \(M_a\). La matrice \(M_a\) est-elle diagonalisable ?

[concours/ex9807] mines MP 2009 Soit \(M_\lambda=\left(\begin{array}{ccc}-1&-\lambda&-\lambda\\0&-1&1\\ 1&0&-1\end{array}\right)\). Déterminer les espaces propres de \(M_\lambda\) suivant \(\lambda\).

[concours/ex5076] escp S 1999 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}2&1&1\\ 1&2&1\\ 0&0&3\end{array}\right)\) et \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) de matrice \(A\) relativement à la base canonique.

1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(f\).

2. Montrer que les deux sous-espaces \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-id)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-3id)^2\) sont supplémentaires dans \(\mathbf{R}^3\). En déduire qu’il existe une base de \(\mathbf{R}^3\) dans laquelle la matrice de \(f\) est \(A'=\left(\begin{array}{ccc}3&1&0\\ 0&3&0\\ 0&0&1\end{array}\right)\). Calculer \(A'^n\), pour \(n\in\mathbf{N}^*\), en déduire \(A^n\).

[concours/ex9540] centrale MP 2005 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&2\end{array}\right)\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Montrer que \(A\) est semblable à \(\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).

3. Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{N}\).

[ev.algebre/ex2199] Soit la matrice : \[A=\left(\begin{array}{ccc}3&-1&-2\\2&0&-2\\2&-1&-1 \end{array}\right).\] Déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres. Est-elle diagonalisable ?

Exprimer si c’est le cas une matrice diagonale qui soit semblable à \(A\).

[oraux/ex8655] imt PC 2016 Soit \(P=(X-1)^2\) et \(A=\pmatrix{1&0&0\cr0&-2&9\cr0&-1&4}\).

1. Déterminer les valeurs propres (complexes) de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Calculer \(P(A)\). En déduire \(A^{-1}\).

3. Montrer que \(A\) est semblable à \(T=\pmatrix{1&0&0\cr0&1&1\cr0&0&1}\).

[planches/ex8196] mines PSI 2022 Soient \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\in\mathbf{R}\), \(A=\pmatrix{\alpha^2&\alpha\beta&\alpha\gamma\cr\alpha\beta&\beta^2&\beta\gamma\cr\alpha\gamma&\beta\gamma&\gamma^2}\) et \(f\) l’endomorphisme canoniquement associé à la matrice \(A\).

1. Montrer qu’il existe un vecteur colonne \(C\) tel que \(A=CC^T\).

2. Déterminer le noyau et l’image de \(A\).

3. Chercher les éléments propres de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

4. Retrouver le résultat en remarquant que \(f\) est proportionnel à un projecteur.

[examen/ex0594] imt MP 2023 Soient \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{R}^{+*}\) et \(M=\pmatrix{1&\frac ba&\frac ca\cr\frac ab&1&\frac cb\cr\frac ac&\frac bc&1}\). Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de \(M\).

[planches/ex2528] centrale PSI 2017 Soient \(A\in\mathscr{M}_{2,3}(\mathbf{R})\) et \(B\in\mathscr{M}_{3,2}(\mathbf{R})\) deux matrices telles que \(AB=\pmatrix{1&0&x\cr0&1&0\cr1&0&1}\).

1. La matrice \(AB\) est-elle inversible ? Quelles sont les valeurs de \(x\) possibles ?

2. La matrice \(BA\) est-elle diagonalisable ?

3. Montrer que \(\mathbf{R}^3=\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits A\oplus\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits B\).

4. Montrer qu’il existe une infinité de couples de matrices \((A,B)\) vérifiant l’hypothèse donnée dans cet exercice.

[oraux/ex4671] hec courts S 2011 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}3&2&-2\\ -1&0&1\\1&1&0\end{array}\right)\).

On admet que \(A^2+I_3=2A\) où \(I_3\) désigne la matrice identité d’ordre 3.

1. Montrer que \(A\) admet une seule valeur propre \(\lambda\). \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Déterminer le sous-espace associé à \(\lambda\).

3. Montrer que \(A\) est semblable à \(B=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).

[examen/ex0993] hec S 2024 On considère la matrice : \[A=\pmatrix{-4&-3&-3\cr0&2&0\cr6&3&5}.\] On note \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) représenté dans la base canonique par la matrice \(A\).

1. Question de cours : caractérisation des endomorphismes diagonalisables à l’aide des dimensions des sous-espaces propres.

2. 1. Écrire une fonction Python prenant en argument deux vecteurs de taille 3 et renvoyant un booléen (True ou False) indiquant s’ils sont colinéaires. On pourra représenter les vecteurs par des types array.

   2. Écrire une fonction Python prenant en argument un vecteur de taille 3 et renvoyant un booléen indiquant s’il est vecteur propre de \(A\).

3. 1. Vérifier que les vecteurs \((-1,2,0)\), \((0,1,-1)\) et \((1,0,-1)\) sont des vecteurs propres de \(f\).

   2. L’endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable ?

4. 1. Écrire un programme Python permettant de déterminer le nombre de vecteurs propres de \(A\) dont les coefficients sont des entiers compris entre \(-10\) et 10 (bornes incluses).

   2. Pour \(N\) un entier naturel non nul, calculer le nombre de vecteurs propres de \(A\) dont les coefficients sont des entiers compris entre \(-N\) et \(N\) (bornes incluses).

5. Soit \(N\) un entier naturel non nul. Une expérience consiste à choisir au hasard de manière indépendante \(N\) vecteurs à coefficients entiers dans \([[-N,N]]^3\).

   1. Quelle est la probabilité \(p_N\) d’obtenir au moins un vecteur propre de \(A\) parmi ces \(N\) vecteurs ?

   2. Quelle est la limite de \(p_N\) lorsque \(N\) tend vers \(+\infty\) ?

[planches/ex2708] ccp PSI 2017

1. Déterminer le spectre de la matrice \(A=\pmatrix{6&-4&-3\cr4&-2&-3\cr3&-3&-1}\).

2. Montrer que \(A\) n’est pas diagonalisable.

3. Expliciter une base \((u,v,w)\) de \(\mathbf{R}^3\) telle que \(u\) et \(v\) soient des vecteurs propres de \(A\).

4. La matrice \(A\) est-elle trigonalisable ?

[oraux/ex7612] ensea MP 2014 Soit, pour \(a\in\mathbf{C}\) : \[M=\pmatrix{1+a&1&-1\cr2(1+a)&2&-2\cr-1&-1&1}.\] Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(a\) pour que \(M_A\) soit diagonalisable.