Édition de feuilles d'exercices

[ev.algebre/ex2183] Soit \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension 3, \(u\in\mathscr{L}(E)\), représenté par sa matrice \(A\) dans une base de \(E\) : \[A=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&2\\0&2&0\\2&0&1 \end{array}\right).\] Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(u\).

[planches/ex8349] mines PC 2022 Soit \(a\in\mathbf{R}\). Déterminer les valeurs propres de \(M=\pmatrix{1-a&0&a\cr0&a&1-a\cr a&1-a&0}\).

[oraux/ex5784] ccp MP 2012 Soit \(A=\left( \begin{array}{ccc}1&-1&1\\ -1&1&-1\\1&-1&1\end{array}\right)\). Montrer que \(A\) est diagonalisable :

1. sans calcul ;

2. en calculant \(\chi_A\) ;

3. par le théorème du rang ;

4. en calculant \(A^2\).

[oraux/ex8601] imt PSI 2016 Soit \(A=\pmatrix{1&0&-1\cr0&2&0\cr-1&0&1}\) et \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) canoniquement associé à \(A\).

1. Trouver les valeurs propres de \(f\). Cet endomorphisme est-il diagonalisable ?

2. Soit \((a,b)\in\mathbf{R}^2\). Trouver les valeurs propres de \(g=af+b\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\).

3. À quelles conditions sur \((a,b)\) l’endomorphisme \(g\) est-il bijectif ?

[planches/ex2528] centrale PSI 2017 Soient \(A\in\mathscr{M}_{2,3}(\mathbf{R})\) et \(B\in\mathscr{M}_{3,2}(\mathbf{R})\) deux matrices telles que \(AB=\pmatrix{1&0&x\cr0&1&0\cr1&0&1}\).

1. La matrice \(AB\) est-elle inversible ? Quelles sont les valeurs de \(x\) possibles ?

2. La matrice \(BA\) est-elle diagonalisable ?

3. Montrer que \(\mathbf{R}^3=\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits A\oplus\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits B\).

4. Montrer qu’il existe une infinité de couples de matrices \((A,B)\) vérifiant l’hypothèse donnée dans cet exercice.

[planches/ex2707] ccp PSI 2017 Soient \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{C}\), \(K=\pmatrix{0&1&0\cr1&0&1\cr0&1&0}\) et \(M=\pmatrix{a+b&c&b\cr c&a+2b&c\cr b&c&a+b}\).

1. Diagonaliser \(K\).

2. Exprimer \(M\) en fonction des puissances de \(K\).

3. Diagonaliser \(M\). En déduire, pour \(k\in\mathbf{N}\), la valeur de \(M^k\).

[examen/ex3694] mines PC 2025 Soit \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(A^2=A^3\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits(E_1(A))=1\).

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits A^2\) et \(E_1(A)\) sont supplémentaires.

2. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits A^2\) et \(E_1(A)\) sont stables par \(A\).

3. Montrer que \(A\) est semblable à \(\pmatrix{1&0&0\cr0&0&\varepsilon\cr0&0&0}\) avec \(\varepsilon\in\{0,1\}\).

[examen/ex0805] imt PC 2023 Diagonaliser la matrice \(\pmatrix{0&3&2\cr-2&5&2\cr2&-3&0}\) en précisant une matrice de passage.

[examen/ex2185] mines PC 2024 Soit \(a\) un réel. On pose \(g:t\mapsto\displaystyle\frac{a\,e^t}{2-t}\).

1. Montrer qu’il existe une unique valeur de \(a\) pour laquelle il existe une variable aléatoire \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\) dont \(g\) soit la fonction génératrice.

   On suppose maintenant que \(a\) est égal à cette valeur et que \(X\) est une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{N}\) dont \(g\) est la fonction génératrice.

2. Trouver la probabilité que \(X\) soit pair.

3. Quelle est la probabilité que la matrice \(\pmatrix{X&X&0\cr-X&-X&0\cr X&X&0}\) soit diagonalisable ?

[planches/ex7494] escp B/L 2022 Soit \(E=\mathbb{R}^3\) muni de sa base canonique \(B=\pmatrix{e_1,e_2,e_3}\).
Soit \(A=\pmatrix{6&-6&5\cr-4&-1&10\cr7&-6&4}\). On considère l’endomorphisme \(u\) de \(E\), qui a pour matrice \(A\) dans la base \(B\).

Dans la suite, on confond \(\mathbb{R}^3\) et l’espace vectoriel \(\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})\) des matrices colonnes à 3 lignes. On dit qu’un sous-espace \(F\) de \(\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})\) est stable par \(A\), si pour tout \(X\in F, AX\in F\).

1. 1. Vérifier que \(-1\) et \(5\) sont valeurs propres de \(u\) et déterminer les sous-espaces propres associés \(E_{-1}\) et \(E_5\).
      On admet désormais que ces deux valeurs sont les seules valeurs propres de \(u\).

   2. Les sous-espaces \(E_{-1}\) et \(E_5\) sont-ils stables par \(A\) ?

   3. L’endomorphisme \(u\) est-il diagonalisable ?

2. Déterminer tous les sous-espaces de \(E\) de dimension \(1\) qui sont stables par \(A\).

3. Soit \(P\) un sous-espace de dimension \(2\) stable par \(A\).

   1. Déterminer \(P\) si on suppose en plus que \(P\) contient \(E_5\).

   2. Vérifier qu’une solution est \(P_1=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u-5Id)^2\).

4. Soit \(P\) un sous-espace de dimension \(2\) stable par \(A\). Que dire de \(P \cap P_1\) ?

5. En déduire tous les sous-espaces vectoriels stables par \(A\).