Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex6683] escp S 2008 Soit \(a,b,c\) trois réels et \(M\) la matrice de \({\cal M}_3(\mathbb{R})\) définie par : \[M=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & c\\ 0 & b & 0\\ a & 0 & 0\end{array}\right)\] On note \({\cal C}(M)=\{ X\in {\cal M}_3(\mathbb{R}) \mid XM=MX \}\).

1. Montrer que \({\cal C}(M)\) est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_3(\mathbb{R})\).

2. On suppose dans cette question que \(ac>0\).

   Déterminer les éléments propres de \(M\). En déduire que \(M\) est diagonalisable.

   On suppose désormais que \(ac>0\) et \(b^2\neq ac\).

3. 1. Soit \(X\) un élément de \({\cal C}(M)\). Soit \(\lambda\) une valeur propre de \(M\) et \(u\) un vecteur propre associé. Montrer qu’il existe un réel \(\alpha\) tel que \(Xu=\alpha u\).

   2. En déduire que \(X\) est diagonalisable.

4. 1. Déterminer la dimension de \({\cal C}(M)\).

   2. Donner une base de \({\cal C}(M)\), lorsque \(a=c\). L’espace vectoriel \({\cal C}(M)\) est-il alors constitué de matrices symétriques ?

[oraux/ex5888] ccp PC 2012 Étudier la diagonalisabilité de \(\left(\begin{array}{ccc}0&0&c^2\\0&b^2&0\\a^2&0&0\end{array}\right)\) où \(a,b,c\in \mathbf{R}\).

[concours/ex9755] ensiie PSI 2008 Soient \(a\in\mathbf{R}\setminus\pi\mathbf{Z}\) et \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits a&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2a\\\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits a&0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2a\\\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2a&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits a&0\end{array}\right)\).

1. Donner les valeurs propres de \(A\).

2. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? La diagonaliser quand c’est possible.

[concours/ex9725] centrale MP 2008 (avec Maple)

Pour \(a\in\mathbf{R}\), on pose \(M_a=\left(\begin{array}{ccc}0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits a&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2a)\\\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits a&0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2a)\\\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2a)&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits a&0\end{array}\right)\).

1. La matrice \(M_a\) est-elle diagonalisable ?

2. Calculer \(M_a^m\) pour \(m\in\mathbf{N}\).

[planches/ex8986] ccinp PC 2022 Soit \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) et \(M=\pmatrix{0&0&c^2\cr0&b^2&0\cr a^2&0&0}\). Déterminer les valeurs propres de \(M\) en fonction de \(a\), \(b\) et \(c\).

[planches/ex5688] imt PC 2019 Soient \(\varphi\in\mathbf{R}\) et \(A=\pmatrix{0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\varphi&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\varphi\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\varphi&0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\varphi\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\varphi&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\varphi&0}\).

Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(\varphi\) pour que \(A\) soit diagonalisable.

[oraux/ex7583] mines PC 2014 Pour quels \(\phi\in\mathbf{R}\) la matrice suivante est-elle diagonalisable ? \[\pmatrix{0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2\phi)&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\phi\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\phi&0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2\phi)\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\phi&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2\phi)&0}.\]

[planches/ex2877] hec courts S 2018 On considère la matrice de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) : \[M=\pmatrix{e^{2i\pi/3}&e^{4i\pi/3}&1\cr e^{4i\pi/3}&1&e^{2i\pi/3}\cr1&e^{2i\pi/3}&e^{4i\pi/3}}.\]

1. Calculer la trace et le rang de \(M\).

2. La matrice \(M\) est-elle diagonalisable ?

3. Justifier que \(M\) est semblable à la matrice \(M'=\pmatrix{e^{4i\pi/3}&e^{2i\pi/3}&1\cr e^{2i\pi/3}&1&e^{4i\pi/3}\cr1&e^{4i\pi/3}&e^{2i\pi/3}}\).

[planches/ex2798] tpe PC 2017 Soit \(M=\pmatrix{j&j^2&1\cr j^2&1&j\cr1&j&j^2}\). Calculer le rang de \(M\). Préciser son spectre. Est-elle trigonalisable ? diagonalisable ?

[examen/ex3540] mines PSI 2025 Soit \(A=\pmatrix{0&z&z\cr1&0&z\cr1&1&0}\) avec \(z\in\mathbf{C}\).

1. Si \(z=1\), justifier que \(A\) est diagonalisable.

2. Pour quels \(z\in\mathbf{C}\), la matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?