[oraux/ex7493] mines alès MP 2013 Soit \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\), de trace nulle, de rang 2 et telle que \(A^3\neq0\). Étudier la diagonalisabilité de \(A\).
[oraux/ex7493]
[examen/ex0805] imt PC 2023 Diagonaliser la matrice \(\pmatrix{0&3&2\cr-2&5&2\cr2&-3&0}\) en précisant une matrice de passage.
[examen/ex0805]
[oraux/ex6038] escp S 2014 On note \(I_3\) la matrice identité de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).
[oraux/ex6038]
Montrer qu’il existe un unique \(\alpha\in \mathbf{R}\) telle que la matrice \(J_\alpha=\pmatrix{\alpha& 0& 1\cr 1&1&1\cr {-2}&0&{-1}}\) soit une matrice de projecteur.
On suppose désormais que \(\alpha\) prend cette valeur et on note \(J\) la matrice associée.
Pour tout \(x \in \mathbf{R}\), on pose \(F (x) = I_3 + (-1 + e^x )J\) et \(G(x) = I_3 - (1 + e^x )J\).
Calculer, pour tout \((x,y)\in\mathbf{R}^2\), \(F (x)F (y)\).
La matrice \(F(x)\) est-elle inversible ?
La matrice \(G(x)\) est-elle inversible ?
Déterminer les éléments propres de \(J\).
Pour tout \((a,b)\in \mathbf{R}^2\), on pose \(M_{a,b} = aI_3 + bJ\). Montrer qu’il existe une matrice \(P\) inversible telle que, pour tout \((a,b)\in \mathbf{R}^2\), la matrice \(\Delta_{a,b}=P^{-1} M_{a,b} P\) soit une matrice diagonale que l’on explicitera.
Montrer que si \(M_{a,b}\) est inversible, alors : \[\exists x \in \mathbf{R},\ M_{a,b} = aF(x) \hbox{ ou } M_{a,b} = aG(x).\] Dans ce cas, calculer \(M_{a,b}^{-1}\) en fonction de \(a\), \(b\), \(J\) et \(I_3\).
On pose : \(\mathscr{C}_{a,b}=\{A\in \mathscr{M}_3(\mathbf{R})\ / \ AM_{a,b}=M_{a,b}A\}\).
On suppose que \(M_{a,b}\) est inversible.
Montrer que l’ensemble \(\mathscr{C}_{a,b}\) est un espace vectoriel et déterminer sa dimension.
[oraux/ex6804] hec S 2016
[oraux/ex6804]
Question de cours : Indiquer pour quels nombres réels les séries \(\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}x^n\) et \(\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}nx^{n-1}\) sont convergentes et préciser alors leurs sommes respectives.
Soit \(a\) un nombre réel strictement positif.
On note \(M=\pmatrix{1+a&-1&1\cr1+2a&-a-1&1\cr2a&-2a&a}\), \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique \(\mathscr{B}=(e_1,e_2,e_3)\) est \(M\), et \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) l’endomorphisme identité de \(\mathbf{R}^3\).
Montrer que \(-a\) est une valeur propre de \(u\) et trouver la dimension du sous-espace propre \(E_{-a}(u)\) associé.
On pose : \(f=(u-a\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})^2\) (composé de l’endomorphisme \(u-a\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) avec lui-même).
Calculer \(f(e_1+e_2+e_3)\).
Montrer que \(E_{-a}(u)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f\) sont deux sous-espaces supplémentaires de \(\mathbf{R}^3\).
En déduire un polynôme annulateur de \(u\) de degré 3.
L’endomorphisme \(u\) est-il diagonalisable ?
On note \(p\) le projecteur de noyau \(E_{-a}(u)\) et d’image \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f\). On pose : \(h=u-ap+a(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}-p)\).
Montrer que \(h^2\) est l’endomorphisme nul.
Établir pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), l’égalité : \(u^n=a^np+(-a)^n(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}-p)+na^{n-1}h\).
On suppose dans cette question que \(0<a<1\).
Montrer que l’endomorphisme \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}-u\) est bijectif et que sa réciproque \((\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}-u)^{-1}\) appartient à l’espace vectoriel \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}},p,h)\).
[examen/ex2182] mines PC 2024 Soit \(Z\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbf{Z}\) telle que \(|Z|+1\sim\mathscr{G}(p)\) et telle que \(\forall n\in\mathbf{Z}\), \(\mathbf{P}(Z=n)=\mathbf{P}(Z=-n)\). Soit \(A=\pmatrix{0&Z&Z\cr Z&0&1\cr 1&1&0}\).
[examen/ex2182]
Déterminer la loi du rang de \(A\).
Déterminer la probabilité pour que \(A\) soit diagonalisable.
[concours/ex5039] escp B/L 2000 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&0\\1&1&1\\0&-1&1\end{array}\right)\in{\cal M}_3(\mathbf{R})\).
[concours/ex5039]
Déterminer les éléments propres de la matrice \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?
Montrer que la matrice \(A\) est semblable à la matrice \(\left(\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).
[oraux/ex7612] ensea MP 2014 Soit, pour \(a\in\mathbf{C}\) : \[M=\pmatrix{1+a&1&-1\cr2(1+a)&2&-2\cr-1&-1&1}.\] Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(a\) pour que \(M_A\) soit diagonalisable.
[oraux/ex7612]
[examen/ex2033] mines PC 2024 Soit \(\alpha\in\mathbb{C}\). La matrice \(M=\pmatrix{1&\alpha&0\cr\alpha&0&1\cr0&1&-1}\) est-elle diagonalisable ?
[examen/ex2033]
[concours/ex6668] escp S 2008 Soit \(a\) un réel non nul. Soit \(A\) la matrice de \({\cal M}_3(\mathbb{R})\) définie par : \[A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & a\cr a & a & a\cr a & 0 & 0 \end{array}\right)\]
[concours/ex6668]
Déterminer les éléments propres de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?
On considère l’équation d’inconnue \(X\), \((\star)\) : \(X^n=A\), où \(n\) est un entier supérieur ou égal à \(2\) et \(X\) un élément de \({\cal M}_3(\mathbb{R})\).
Soit \(X\) une solution éventuelle de \((\star)\).
Montrer que \(XA=AX\).
En déduire que tout vecteur propre de \(A\) est vecteur propre de \(X\).
Montrer que \((\star)\) n’a pas de solution lorsque \(n\) est un entier pair.
Soit \(n\) un entier impair et \((e_1,e_2,e_3)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^3\).
Montrer que \({\cal B}=(e_1, e_2, e_1-e_3)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\).
Soit \(X\) une solution de \((\star)\) et \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) canoniquement associé à \(X\). Montrer qu’il existe \((\alpha, \beta, \gamma)\) tels que la matrice associée à \(u\) relativement à la base \({\cal B}\), soit : \[\left(\begin{array}{ccc} \alpha & 0 & 0 \cr \gamma & \alpha & 0\cr {\beta-\alpha\over 2} & 0 & \beta \end{array}\right)\]
Résoudre l’équation \((\star)\) lorsque \(n\) est un entier impair.
[ev.algebre/ex2197] Soit la matrice : \[A=\left(\begin{array}{ccc}3&4&-4\\ -2&1&2\\ -2&0&1 \end{array}\right).\] Déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres. Est-elle diagonalisable ?
[ev.algebre/ex2197]
Exprimer si c’est le cas une matrice diagonale qui soit semblable à \(A\).
Dans la page dédiée à l'examen d'un exercice, vous pouvez choisir de quelle façon sont affichées les solutions