Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex5687] imt PC 2019 Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur \((a,b,c,d,e)\in\mathbf{R}^5\) pour que la matrice \(A=\pmatrix{a&b&c\cr0&a&d\cr0&0&e}\) soit diagonalisable.

Indication : Distinguer \(a=e\) et \(a\neq e\).

[planches/ex4332] escp B/L 2019 Pour toute matrice \(A\in {\cal M}_3(\mathbf{R})\), on considère les ensembles suivants : \[E_1(A)=\{M\in {\cal M}_3(\mathbf{R}) \hbox{ telles que } AM=M\},\quad E_2(A)=\{M\in {\cal M}_3(\mathbf{R}) \hbox{ telles que } A^2M=AM\}\] On note \(I\) la matrice identité de \({\cal M}_3(\mathbf{R})\).

1. Montrer que \(E_1(A)\) et \(E_2(A)\) sont des sous-espaces vectoriels de \({\cal M}_3(\mathbf{R})\).

2. 1. Montrer que si \(A\) est inversible, alors \(E_1(A)=E_2(A)\).

   2. Déterminer \(E_1(A)\) lorsque \(A-I\) est inversible.

3. On considère la matrice \(C=\displaystyle \pmatrix{ 3 & -2 &-1\cr 1 &0 & -1\cr 2 & -2 & 0}\).

   1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(C\).

   2. Determiner une matrice inversible \(P\) et une matrice diagonale \(D\) telles que \(C=PDP^{-1}\) (les coefficients diagonaux de \(D\) sont rangés dans l’ordre croissant).

4. Soit \(M\in {\cal M}_3(\mathbf{R})\) et \(N=P^{-1}M\).

   1. Montrer que \(M\in E_1(C)\) si et seulement si \(N\in E_1(D)\).

   2. Déterminer \(E_1(D)\).

   3. En déduire la dimension de \(E_1(C)\).

[concours/ex9067] escp B/L 2010 On considère la matrice \(A= \left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right)\) et l’endomorphisme \(f\) de \(\mathbf{R}^3\) qui lui est canoniquement associé.

1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(f\). Cet endomorphisme est-il diagonalisable ?

2. 1. Démontrer que les deux sous-espaces vectoriels \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-Id)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits\left(\vphantom{|_|}\smash{(f-3Id)^2}\right)\) sont supplémentaires dans \(\mathbf{R}^3\).

   2. En déduire qu’il existe une base de \(\mathbf{R}^3\) dans laquelle la matrice de \(f\) est : \[T=\left(\begin{array}{ccc} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right).\]

3. Calculer \(T^n\) pour \(n\) entier naturel non nul. En déduire \(A^n\).

4. La matrice \(A\) est-elle inversible ? Si oui, donner l’expression de \((A^{-1})^n\) pour \(n \in \mathbf{N}^*\).

[planches/ex5583] imt PSI 2019 Soient \(u\), \(v\), \(w\) trois suites vérifiant, pour tout \(n\in\mathbf{N}\), \[u_{n+1}=4u_n-3v_n-3w_n,\quad v_{n+1}=3u_n-2v_n-3w_n,\quad w_{n+1}=3u_n-3v_n-2w_n.\] Exprimer \(u_n\), \(v_n\), \(w_n\) en fonction de \(n\), \(u_0\), \(v_0\), \(w_0\).

[examen/ex3694] mines PC 2025 Soit \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(A^2=A^3\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits(E_1(A))=1\).

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits A^2\) et \(E_1(A)\) sont supplémentaires.

2. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits A^2\) et \(E_1(A)\) sont stables par \(A\).

3. Montrer que \(A\) est semblable à \(\pmatrix{1&0&0\cr0&0&\varepsilon\cr0&0&0}\) avec \(\varepsilon\in\{0,1\}\).

[concours/ex1559] ccp, tpe, int, ivp MP 1998 Étude des suites \(u\), \(v\) et \(w\) telles que : \[\left\{\begin{array}{rcl} u_{n+1} &=& \vphantom{\Big|_|^|}\displaystyle{1\over4}(2u_n+v_n+w_n)\\ v_{n+1} &=& \vphantom{\Big|_|^|}\displaystyle{1\over3}(u_n+v_n+w_n)\\ w_{n+1} &=& \vphantom{\Big|_|^|}\displaystyle{1\over4}(u_n+v_n+2w_n) \end{array}\right.\]

[examen/ex2288] centrale PSI 2024 Soit \(M(a,b,c)=\pmatrix{a&0&c\cr0&b&0\cr c&0&a}\) avec \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{R}\).

1. Déterminer les valeurs propres de \(M(a,b,c)\) et son déterminant.

2. Déterminer le noyau et l’image de la matrice.

3. La matrice \(M(a,b,c)\) est-elle diagonalisable ?

[planches/ex3731] mines PC 2018 Soit \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{K})\). On suppose que \(\lambda\in\mathbf{K}\) est une valeur propre de multiplicité 3.

1. Montrer que \(E_\lambda(A)\) est de dimension 1 si et seulement si la matrice \((\lambda I_3-A)\) est nilpotente d’indice 3.

2. Montrer que sous ces conditions \(A\) est semblable à \(\pmatrix{\lambda&1&0\cr0&\lambda&1\cr0&0&\lambda}\).

[oraux/ex0037] ccp PC 2010 Déterminer pour quels \(z\in\mathbf{C}\) la matrice \(\left(\begin{array}{ccc}0&0&z\\1&0&0\\1&0&0\end{array}\right)\) est diagonalisable.

[oraux/ex7626] mines alès PC 2014 Soit \((u_n)_{n\geqslant 0}\) définie par : \((u_0,u_1,u_2)\in\mathbf{R}^3\) et \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(u_{n+3}=6u_{n+2}+11u_{n+1}+6u_n\). Pour \(n\in\mathbf{N}\), on pose \(X_n={}^t(u_n,u_{n+1},u_{n+2})\). Trouver une matrice \(A\) de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que : \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(X_{n+1}=AX_n\). Diagonaliser \(A\) puis donner l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\) et des conditions initiales.