Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex4076] mines M 1990 Résoudre \(AX=B\) avec \[A=\left[\begin{array}{ccc} 2&1&0\\ -3&-1&1\\1&0&-1\end{array}\right]\quad\hbox{et}\quad B=\left[\begin{array}{ccc} 1&1&1\\ -2&-2&-2\\1&1&1\end{array}\right].\] Trigonaliser \(A\).

[concours/ex9540] centrale MP 2005 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&2\end{array}\right)\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Montrer que \(A\) est semblable à \(\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).

3. Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{N}\).

[planches/ex2708] ccp PSI 2017

1. Déterminer le spectre de la matrice \(A=\pmatrix{6&-4&-3\cr4&-2&-3\cr3&-3&-1}\).

2. Montrer que \(A\) n’est pas diagonalisable.

3. Expliciter une base \((u,v,w)\) de \(\mathbf{R}^3\) telle que \(u\) et \(v\) soient des vecteurs propres de \(A\).

4. La matrice \(A\) est-elle trigonalisable ?

[planches/ex7942] mines MP 2022 Soient \(A\), \(B\) dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(AB=\pmatrix{0&1&1\cr1&0&1\cr1&1&0}\). Montrer que \(BA\) est diagonalisable.

[planches/ex2707] ccp PSI 2017 Soient \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{C}\), \(K=\pmatrix{0&1&0\cr1&0&1\cr0&1&0}\) et \(M=\pmatrix{a+b&c&b\cr c&a+2b&c\cr b&c&a+b}\).

1. Diagonaliser \(K\).

2. Exprimer \(M\) en fonction des puissances de \(K\).

3. Diagonaliser \(M\). En déduire, pour \(k\in\mathbf{N}\), la valeur de \(M^k\).

[planches/ex7315] imt PSI 2021 Soient \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{C}\) et \(A=\pmatrix{0&b&c\cr a&0&c\cr a&b&0}\).

1. Calculer le déterminant de \(A\).

2. À quelle condition \(A\) est-elle diagonalisable ?

[oraux/ex8653] ccp PC 2016 On pose \(A=\pmatrix{2&1&-4\cr0&1&-2\cr1&1&-3}\), \(B=\pmatrix{1&1&-2\cr2&2&-4\cr1&1&-2}\).

1. Calculer \(A^2\), \(A^3\). En déduire une expression de \(A^n\) pour tout \(n\in\mathbf{N}\).

2. Calculer les valeurs propres de \(A\). Est-elle diagonalisable ?

3. Montrer que les vecteurs propres de \(A\) sont aussi des vecteurs propres de \(B\). La matrice \(B\) est-elle diagonalisable ?

4. Soient \((x,y)\in\mathbf{R}^2\) et \(M(x,y)=xA+yB\). Montrer que \(M(x,y)\) est diagonalisable et donner l’expression de \((M(x,y))^n\) pour tout \(n\in\mathbf{N}\).

[concours/ex9621] ccp MP 2006 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}3&-2&-2\\ -1&0&1\\1&1&0\end{array}\right)\). Trigonaliser \(A\) en précisant une matrice de passage.

[planches/ex2311] mines PC 2017 Soit \(A=\pmatrix{2&0&1\cr1&1&0\cr-1&1&3}\). Réduire la matrice \(A\).

[oraux/ex0037] ccp PC 2010 Déterminer pour quels \(z\in\mathbf{C}\) la matrice \(\left(\begin{array}{ccc}0&0&z\\1&0&0\\1&0&0\end{array}\right)\) est diagonalisable.