Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7783] mines PC 2016 Soit \(M(\alpha)=\pmatrix{0&0&\alpha\cr1&0&1\cr0&1&0}\) pour \(\alpha\in\mathbf{C}\). Déterminer les valeurs de \(\alpha\) pour lesquelles \(M(\alpha)\) possède une valeur propre de module 1.

[oraux/ex4330] centrale PC 2011 Soient \(\mathscr{F}\) l’ensemble des matrices de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) dont les sommes des coefficients de la première ligne, de la troisième ligne, de la première colonne et de la troisième colonne sont toutes les quatre nulles.

1. Montrer que \(\mathscr{F}\) est un sous-espace vectoriel ; donner sa dimension.

2. Trouver une matrice de \(\mathscr{F}\) inversible, une matrice de \(\mathscr{F}\) non nulle non inversible, une matrice de \(\mathscr{F}\) diagonalisable.

3. Une matrice dans \(\mathscr{F}\) dont le noyau est \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits\left({}^t(1,0,0),{}^t(1,1,1)\right)\) est-elle diagonalisable ?

[examen/ex4031] imt MP 2025 Pour tout \(c\in\mathbf{R}\), on considère la matrice \(A(c)=\pmatrix{-c&1&-1\cr1&1-c&1\cr-1&-1&-c}\).

1. La matrice \(A(c)\) est-elle diagonalisable ?

2. Trouver \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_3(\mathbf{R})\) telle que la matrice \(P^{-1}A(c)P\) soit triangulaire supérieure.

[examen/ex1894] mines PSI 2024 Soit \(A=\pmatrix{-1&1&1\cr0&5&-14\cr0&-3&-8}\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Soit \(n\in\mathbf{N}\). Montrer qu’il existe un unique \((\alpha_n,\beta_n,\gamma_n)\in\mathbf{R}^3\) et un unique \(Q_n\in\mathbf{R}[X]\) tels que \(X^n=(X+1)^2(X+2)Q_n(X)+\alpha_n(X+2)+\beta_n (X+1)(X+2)+\gamma_n(X+1)^2\).

3. Déterminer \(A^n\).

[ev.algebre/ex2148] Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}5&-1&1\\ -1&1&-3\\1&-3&1\end{array}\right)\) ; calculer \(A^n\).

[oraux/ex8600] imt PSI 2016 Soient \(a\in\mathbf{R}\) et \(A=\pmatrix{1&-1&a\cr0&2&0\cr0&0&a}\). Déterminer le rang de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? Pour \(a=1\), calculer \(A^n\).

[planches/ex4332] escp B/L 2019 Pour toute matrice \(A\in {\cal M}_3(\mathbf{R})\), on considère les ensembles suivants : \[E_1(A)=\{M\in {\cal M}_3(\mathbf{R}) \hbox{ telles que } AM=M\},\quad E_2(A)=\{M\in {\cal M}_3(\mathbf{R}) \hbox{ telles que } A^2M=AM\}\] On note \(I\) la matrice identité de \({\cal M}_3(\mathbf{R})\).

1. Montrer que \(E_1(A)\) et \(E_2(A)\) sont des sous-espaces vectoriels de \({\cal M}_3(\mathbf{R})\).

2. 1. Montrer que si \(A\) est inversible, alors \(E_1(A)=E_2(A)\).

   2. Déterminer \(E_1(A)\) lorsque \(A-I\) est inversible.

3. On considère la matrice \(C=\displaystyle \pmatrix{ 3 & -2 &-1\cr 1 &0 & -1\cr 2 & -2 & 0}\).

   1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(C\).

   2. Determiner une matrice inversible \(P\) et une matrice diagonale \(D\) telles que \(C=PDP^{-1}\) (les coefficients diagonaux de \(D\) sont rangés dans l’ordre croissant).

4. Soit \(M\in {\cal M}_3(\mathbf{R})\) et \(N=P^{-1}M\).

   1. Montrer que \(M\in E_1(C)\) si et seulement si \(N\in E_1(D)\).

   2. Déterminer \(E_1(D)\).

   3. En déduire la dimension de \(E_1(C)\).

[concours/ex9807] mines MP 2009 Soit \(M_\lambda=\left(\begin{array}{ccc}-1&-\lambda&-\lambda\\0&-1&1\\ 1&0&-1\end{array}\right)\). Déterminer les espaces propres de \(M_\lambda\) suivant \(\lambda\).

[oraux/ex6038] escp S 2014 On note \(I_3\) la matrice identité de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).

1. Montrer qu’il existe un unique \(\alpha\in \mathbf{R}\) telle que la matrice \(J_\alpha=\pmatrix{\alpha& 0& 1\cr 1&1&1\cr {-2}&0&{-1}}\) soit une matrice de projecteur.

   On suppose désormais que \(\alpha\) prend cette valeur et on note \(J\) la matrice associée.

2. Pour tout \(x \in \mathbf{R}\), on pose \(F (x) = I_3 + (-1 + e^x )J\) et \(G(x) = I_3 - (1 + e^x )J\).

   Calculer, pour tout \((x,y)\in\mathbf{R}^2\), \(F (x)F (y)\).

   La matrice \(F(x)\) est-elle inversible ?

   La matrice \(G(x)\) est-elle inversible ?

3. Déterminer les éléments propres de \(J\).

4. Pour tout \((a,b)\in \mathbf{R}^2\), on pose \(M_{a,b} = aI_3 + bJ\). Montrer qu’il existe une matrice \(P\) inversible telle que, pour tout \((a,b)\in \mathbf{R}^2\), la matrice \(\Delta_{a,b}=P^{-1} M_{a,b} P\) soit une matrice diagonale que l’on explicitera.

5. Montrer que si \(M_{a,b}\) est inversible, alors : \[\exists x \in \mathbf{R},\ M_{a,b} = aF(x) \hbox{ ou } M_{a,b} = aG(x).\] Dans ce cas, calculer \(M_{a,b}^{-1}\) en fonction de \(a\), \(b\), \(J\) et \(I_3\).

6. On pose : \(\mathscr{C}_{a,b}=\{A\in \mathscr{M}_3(\mathbf{R})\ / \ AM_{a,b}=M_{a,b}A\}\).

   On suppose que \(M_{a,b}\) est inversible.

   Montrer que l’ensemble \(\mathscr{C}_{a,b}\) est un espace vectoriel et déterminer sa dimension.

[examen/ex0741] ccinp PSI 2023 Soient le système : \[\cases{u_{n+1}=u_n-2v_n-w_n\cr v_{n+1}=-u_n+v_n-w_n\cr w_{n+1}=-u_n-2v_n+w_n}\quad\hbox{et}\quad X_n=\pmatrix{u_n\cr v_n\cr w_n}.\]

1. Trouver \(A\) telle que \(X_{n+1}=AX_n\). Exprimer \(X_n\) en fonction de \(X_0\) et \(A\).

2. La matrice \(A\) est-t-elle diagonalisable ? Trouver une matrice \(P\) telle que \(P^{-1}AP\) est triangulaire supérieure.

3. Exprimer \(u_n\), \(v_n\) et \(w_n\) en fonction de \(n\).