Édition de feuilles d'exercices

[ev.algebre/ex2199] Soit la matrice : \[A=\left(\begin{array}{ccc}3&-1&-2\\2&0&-2\\2&-1&-1 \end{array}\right).\] Déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres. Est-elle diagonalisable ?

Exprimer si c’est le cas une matrice diagonale qui soit semblable à \(A\).

[concours/ex9614] centrale PC 2006 Soit \(M(a,b,c)\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) définie par : \(M(a,b,c)=\left(\begin{array}{ccc}a&c&b\\b&a+c&b+c\\c&b&a+c\end{array}\right)\). La matrice \(M(a,b,c)\) est-elle diagonalisable ? On pourra introduire \(M(0,1,0)\).

[planches/ex7390] ccinp PC 2021 Pour \(a\), \(b\) réels, on pose \(M(a,b)=\pmatrix{a&0&b\cr a&b&a\cr b&0&a}\) et \(J=M(0,1)\), \(K=M(1,0)\).

1. Déterminer les éléments propres des matrices \(J\) et \(K\).

2. Les matrices \(J\) et \(K\) ont-elles une base commune de vecteurs propres ?

[planches/ex8196] mines PSI 2022 Soient \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\in\mathbf{R}\), \(A=\pmatrix{\alpha^2&\alpha\beta&\alpha\gamma\cr\alpha\beta&\beta^2&\beta\gamma\cr\alpha\gamma&\beta\gamma&\gamma^2}\) et \(f\) l’endomorphisme canoniquement associé à la matrice \(A\).

1. Montrer qu’il existe un vecteur colonne \(C\) tel que \(A=CC^T\).

2. Déterminer le noyau et l’image de \(A\).

3. Chercher les éléments propres de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

4. Retrouver le résultat en remarquant que \(f\) est proportionnel à un projecteur.

[oraux/ex7511] ccp PSI 2013 Soit \(\varphi\in\mathscr{L}(\mathbf{R}^3)\) dont la matrice dans la base canonique est \(\pmatrix{1&1&-1\cr-1&3&-3\cr-2&2&-2}\).

1. Montrer que \(\mathbf{R}^3=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(\varphi^2)\oplus\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(\varphi-2\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\).

2. Déterminer une base dans laquelle la matrice de \(\varphi\) est \(\pmatrix{0&1&0\cr0&0&0\cr0&0&2}\).

3. Soit \(g\in\mathscr{L}(\mathbf{R}^3)\) tel que \(g^2=\varphi\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(\varphi^2)\) est stable par \(g\). En déduire qu’un tel \(g\) n’existe pas.

[examen/ex2428] imt MP 2024 On pose \(A=\pmatrix{1&0&a\cr0&2&0\cr0&0&a}\), où \(a\in\mathbf{R}\). La matrice \(A\) est-elle inversible ? diagonalisable ?

[planches/ex7942] mines MP 2022 Soient \(A\), \(B\) dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(AB=\pmatrix{0&1&1\cr1&0&1\cr1&1&0}\). Montrer que \(BA\) est diagonalisable.

[planches/ex2451] centrale MP 2017 (avec Python)

Soit, pour \((a,b)\in\mathbf{C}^2\), \(M_{a,b}\) la matrice \(M_{a,b}=\pmatrix{3a+b&-4a-b&2a\cr2a+b&-3a-b&2a\cr b&-b&a}\). On pose \[F=\{M_{a,b},\ (a,b)\in\mathbf{C}^2\}\] et, pour \(n\in\mathbf{N}\), \(R_n=\{(a,b)\in\mathbf{C}^2,\ (M_{a,b})^n=I_3\}\).

1. Programmer la fonction \(m(a,b)\) qui renvoie la matrice \(M_{a,b}\).

2. Calculer les produits \(M_{0,1}M_{1,0}\), \(M_{1,0}M_{0,1}\), \(M_{0,1}^2\), \(M_{1,0}^2\).

3. Montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel. Est-ce une sous-algèbre ?

4. Déterminer la plus petite sous-algèbre contenant \(F\). Quelle est sa dimension ? Est-elle commutative ?

5. Déterminer les éléments de \(R_n\).

6. Montrer que si \(M_{a,b}\) est diagonalisable alors \(bM_{0,1}\) aussi. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que \(M_{a,b}\) soit diagonalisable.

[examen/ex2033] mines PC 2024 Soit \(\alpha\in\mathbb{C}\). La matrice \(M=\pmatrix{1&\alpha&0\cr\alpha&0&1\cr0&1&-1}\) est-elle diagonalisable ?

[concours/ex9897] ccp PC 2009 Soit \(J=\left(\begin{array}{ccc}-1&0&-2\\1&1&1\\1&0&2\end{array}\right)\).

1. Calculer \(J^2\). La matrice \(J\) est-elle inversible ? Montrer que \(J\) est diagonalisable et déterminer ses valeurs propres.

2. Soit \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) et \(M(a,b)=aI_3+bJ\). Montrer que \(M(a,b)\) est diagonalisable et déterminer ses valeurs propres. À quelle condition est-elle inversible ?

3. Si \(x\in\mathbf{R}\), on pose \(F(x)=I_3+(-1+e^x)J\) et \(G(x)=I_3-(1+e^x)J\). Calculer \(F(x)F(y)\) et \(G(x)G(y)\) pour \((x,y)\in\mathbf{R}^2\). En déduire que \(F(x)\) et \(G(x)\) sont inversibles et déterminer leurs inverses.