Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex4332] escp B/L 2019 Pour toute matrice \(A\in {\cal M}_3(\mathbf{R})\), on considère les ensembles suivants : \[E_1(A)=\{M\in {\cal M}_3(\mathbf{R}) \hbox{ telles que } AM=M\},\quad E_2(A)=\{M\in {\cal M}_3(\mathbf{R}) \hbox{ telles que } A^2M=AM\}\] On note \(I\) la matrice identité de \({\cal M}_3(\mathbf{R})\).

1. Montrer que \(E_1(A)\) et \(E_2(A)\) sont des sous-espaces vectoriels de \({\cal M}_3(\mathbf{R})\).

2. 1. Montrer que si \(A\) est inversible, alors \(E_1(A)=E_2(A)\).

   2. Déterminer \(E_1(A)\) lorsque \(A-I\) est inversible.

3. On considère la matrice \(C=\displaystyle \pmatrix{ 3 & -2 &-1\cr 1 &0 & -1\cr 2 & -2 & 0}\).

   1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(C\).

   2. Determiner une matrice inversible \(P\) et une matrice diagonale \(D\) telles que \(C=PDP^{-1}\) (les coefficients diagonaux de \(D\) sont rangés dans l’ordre croissant).

4. Soit \(M\in {\cal M}_3(\mathbf{R})\) et \(N=P^{-1}M\).

   1. Montrer que \(M\in E_1(C)\) si et seulement si \(N\in E_1(D)\).

   2. Déterminer \(E_1(D)\).

   3. En déduire la dimension de \(E_1(C)\).

[examen/ex2288] centrale PSI 2024 Soit \(M(a,b,c)=\pmatrix{a&0&c\cr0&b&0\cr c&0&a}\) avec \(a\), \(b\), \(c\in\mathbf{R}\).

1. Déterminer les valeurs propres de \(M(a,b,c)\) et son déterminant.

2. Déterminer le noyau et l’image de la matrice.

3. La matrice \(M(a,b,c)\) est-elle diagonalisable ?

[concours/ex4529] escp S 2005

1. Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\ 0&0&-1\\ 1&-1&-1\end{array}\right)\) et \(B=\left(\begin{array}{ccc}1&-1&0\\ -1&1&0\\ 0&0&2\end{array}\right)\).

   1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs colonnes propres des matrices \(A\) et \(B\).

   2. En déduire les valeurs propres de la matrice \(M(a,b)=\left(\begin{array}{ccc}b&-b& a\\ -b& b& -a\\ a&-a&2b-a\end{array}\right)\), où \(a\) et \(b\) sont deux paramètres réels.

2. Soit \(n\) un entier naturel non nul. On note \(\mathbf{R}_n[X]\) l’espace vectoriel constitué des polynômes à coefficients réels dont le degré est inférieur ou égal à \(n\).

   Soit \((a_0,\ldots,a_n)\in\mathbf{R}^{n+1}\) ; on définit l’application \(\theta\) de \(\mathbf{R}_n[X]\) vers \(\mathbf{R}^{n+1}\) par : \(\theta(P)=\bigl(P(a_0),\ldots,P(a_n)\bigr)\).

   1. Montrer que si \(\theta\) est bijective, alors les nombres \(a_0\), … , \(a_n\) sont deux à deux distincts.

   2. Réciproquement, montrer que si les \(a_k\) sont deux à deux distincts, alors \(\theta\) est bijective.

3. 1. Existe-t-il un polynôme \(P\) à coefficients réels tel que \(P(A)=B\) ? Si oui, déterminer un tel polynôme.

   2. Répondre à la même question en échangeant les rôles de \(A\) et \(B\).

[oraux/ex4671] hec courts S 2011 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}3&2&-2\\ -1&0&1\\1&1&0\end{array}\right)\).

On admet que \(A^2+I_3=2A\) où \(I_3\) désigne la matrice identité d’ordre 3.

1. Montrer que \(A\) admet une seule valeur propre \(\lambda\). \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Déterminer le sous-espace associé à \(\lambda\).

3. Montrer que \(A\) est semblable à \(B=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).

[oraux/ex7467] centrale PSI 2013 Soit \(A=\pmatrix{-1&1&-3\cr0&2&-1\cr1&0&2}\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Soit \(B=I_3-A\). Trouver \(X\in\mathscr{M}_{2,1}(\mathbf{R})\) tel que \((B^2X,BX,X)\) soit une base de \(\mathscr{M}_{3,1}(\mathbf{R})\). En déduire une matrice \(P\) inversible telle que \(P^{-1}AP\) soit triangulaire.

[oraux/ex6402] hec E 2013

1. Question de cours : condition suffisante de diagonalisabilité d’une matrice.

   Soit \(A\) la matrice de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) définie par : \(A=\pmatrix{0&1&0\cr0&0&1\cr-2&1&2}\).

2. 1. Soit \(\lambda\in\mathbf{R}\). Montrer que le système \(AX=\lambda X\) d’inconnue \(X\in\mathscr{M}_{3,1}(\mathbf{R})\) possède des solutions non nulles si et seulement si \((\lambda^2-1)(\lambda-2)=0\). Donner alors les solutions de ce système.

   2. En déduire une matrice inversible \(P\) et une matrice diagonale \(D\) telles que \(A=PDP^{-1}\).

3. Soit \((x_n)_{n\in\mathbf{N}}\) une suite réelle définie par : pour tout \(n\in\mathbf{N}\), \(x_{n+3}=2x_{n+2}+x_{n+1}-2x_n\).

   On pose pour tout \(n\in\mathbf{N}\) : \(X_n=\pmatrix{x_n\cr x_{n+1}\cr x_{n+2}}\) et \(Y_n=P^{-1}X_n\).

   1. Quelle relation a-t-on entre \(X_{n+1}\), \(X_n\) et \(A\) ?

   2. En déduire l’expression de \(Y_n\) en fonction de \(n\), \(D\) et \(Y_0\).

   3. Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(x_0\), \(x_1\) et \(x_2\) pour que la suite \((x_n)_{n\in\mathbf{N}}\) soit convergente (respectivement, pour que la série \(\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 0}x_n\) soit convergente).

4. On pose \(B=\pmatrix{5&0&-2\cr4&3&-4\cr8&0&-5}\) et pour tout \((a,b)\in\mathbf{R}^2\), \(M(a,b)=\pmatrix{5b&a&2b\cr4b&3b&a-4b\cr-2a+8b&a&2a-5b}\).

   1. Montrer que tout vecteur propre de \(A\) est vecteur propre de \(B\). La réciproque est-elle vraie ?

   2. En déduire que \(M(a,b)\) est diagonalisable et préciser ses valeurs propres.

   3. Déterminer les couples \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) pour lesquels la suite \(\left(\vphantom{|_|}\smash{M(a,b)^n}\right)_{n\in\mathbf{N}}\) converge vers la matrice nulle, c’est-à-dire que chacun de ses neuf coefficients est le terme général d’une suite tendant vers 0.

[oraux/ex4687] hec courts E 2011 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&2&-2\\2&1&-2\\2&2&-3\end{array}\right)\).

1. Calculer \(A^2-I\).

2. \(A\) est-elle diagonalisable ? Si oui, la diagonaliser.

[planches/ex5583] imt PSI 2019 Soient \(u\), \(v\), \(w\) trois suites vérifiant, pour tout \(n\in\mathbf{N}\), \[u_{n+1}=4u_n-3v_n-3w_n,\quad v_{n+1}=3u_n-2v_n-3w_n,\quad w_{n+1}=3u_n-3v_n-2w_n.\] Exprimer \(u_n\), \(v_n\), \(w_n\) en fonction de \(n\), \(u_0\), \(v_0\), \(w_0\).

[concours/ex9621] ccp MP 2006 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}3&-2&-2\\ -1&0&1\\1&1&0\end{array}\right)\). Trigonaliser \(A\) en précisant une matrice de passage.

[examen/ex1894] mines PSI 2024 Soit \(A=\pmatrix{-1&1&1\cr0&5&-14\cr0&-3&-8}\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Soit \(n\in\mathbf{N}\). Montrer qu’il existe un unique \((\alpha_n,\beta_n,\gamma_n)\in\mathbf{R}^3\) et un unique \(Q_n\in\mathbf{R}[X]\) tels que \(X^n=(X+1)^2(X+2)Q_n(X)+\alpha_n(X+2)+\beta_n (X+1)(X+2)+\gamma_n(X+1)^2\).

3. Déterminer \(A^n\).