[planches/ex5687] imt PC 2019 Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur \((a,b,c,d,e)\in\mathbf{R}^5\) pour que la matrice \(A=\pmatrix{a&b&c\cr0&a&d\cr0&0&e}\) soit diagonalisable.
[planches/ex5687]
Indication : Distinguer \(a=e\) et \(a\neq e\).
[examen/ex0471] centrale PSI 2023 Soit \(A=\pmatrix{3&-1&2\cr2&0&1\cr1&-1&2}\).
[examen/ex0471]
Montrer que \(A\) a une valeur propre double \(a>0\) et une simple \(b>0\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?
Soit \(f\) une fonction de \(\mathbf{R}^{+*}\) dans \(\mathbf{R}\) de classe \(\mathscr{C}^2\). Montrer qu’il existe un unique polynôme \(P_f\in\mathbf{R}_2[X]\) tel que : \[P_f(a)=f(a),\quad P_f(b)=f(b),\quad P'_f(a)=f'(a).\]
Pour toute fonction \(f\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R}^{+*},\mathbf{R})\), on pose \(f(A)=P_f(A)\). Calculer \(f(A)\) dans les cas où \(f:x\mapsto x^2\), puis \(f:x\mapsto x^3\).
Désormais on prend \(f:x\mapsto\displaystyle\frac{1}{x}\). Conjecturer la valeur de \(Af(A)\) et prouver cette conjecture.
[planches/ex4332] escp B/L 2019 Pour toute matrice \(A\in {\cal M}_3(\mathbf{R})\), on considère les ensembles suivants : \[E_1(A)=\{M\in {\cal M}_3(\mathbf{R}) \hbox{ telles que } AM=M\},\quad E_2(A)=\{M\in {\cal M}_3(\mathbf{R}) \hbox{ telles que } A^2M=AM\}\] On note \(I\) la matrice identité de \({\cal M}_3(\mathbf{R})\).
[planches/ex4332]
Montrer que \(E_1(A)\) et \(E_2(A)\) sont des sous-espaces vectoriels de \({\cal M}_3(\mathbf{R})\).
Montrer que si \(A\) est inversible, alors \(E_1(A)=E_2(A)\).
Déterminer \(E_1(A)\) lorsque \(A-I\) est inversible.
On considère la matrice \(C=\displaystyle \pmatrix{ 3 & -2 &-1\cr 1 &0 & -1\cr 2 & -2 & 0}\).
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(C\).
Determiner une matrice inversible \(P\) et une matrice diagonale \(D\) telles que \(C=PDP^{-1}\) (les coefficients diagonaux de \(D\) sont rangés dans l’ordre croissant).
Soit \(M\in {\cal M}_3(\mathbf{R})\) et \(N=P^{-1}M\).
Montrer que \(M\in E_1(C)\) si et seulement si \(N\in E_1(D)\).
Déterminer \(E_1(D)\).
En déduire la dimension de \(E_1(C)\).
[concours/ex9932] polytechnique, espci PC 2010 Soit, pour \(t\in\mathbf{R}\) : \(M(t)=\left(\begin{array}{ccc}1&-1&t-2\\ 0&2&2-t\\1&1&t\end{array}\right)\). Pour quelles valeurs de \(t\) la matrice \(M(t)\) est-elle diagonalisable ?
[concours/ex9932]
[ev.algebre/ex2210] Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&2&6\\ -1&0&2\\1&2&2\end{array}\right)\).
[ev.algebre/ex2210]
Diagonaliser \(A\).
En déduire, pour tout \(n\in\mathbf{N}\), une expression de \(A^n\) en fonction de \(n\).
[concours/ex9456] mines 2004 Diagonaliser \(\left(\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{array}\right)\).
[concours/ex9456]
[concours/ex9621] ccp MP 2006 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}3&-2&-2\\ -1&0&1\\1&1&0\end{array}\right)\). Trigonaliser \(A\) en précisant une matrice de passage.
[concours/ex9621]
[planches/ex2708] ccp PSI 2017
[planches/ex2708]
Déterminer le spectre de la matrice \(A=\pmatrix{6&-4&-3\cr4&-2&-3\cr3&-3&-1}\).
Montrer que \(A\) n’est pas diagonalisable.
Expliciter une base \((u,v,w)\) de \(\mathbf{R}^3\) telle que \(u\) et \(v\) soient des vecteurs propres de \(A\).
La matrice \(A\) est-elle trigonalisable ?
[concours/ex4436] escp S 2006 On note \(E\) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre \(3\) à coefficients réels. On note \({\cal F}\) l’ensemble des éléments \(M\) de \(E\) tels que si \(M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant 3}\), alors \(m_{1,2}=m_{1,3}=m_{2,1}=0\).
[concours/ex4436]
Montrer que \({\cal F}\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) et donner sa dimension.
Soit \(A\in E\) de rang égal à \(1\). On note \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) canoniquement associé à \(A\).
On suppose que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits u\cap \mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits u=\{0\}\). Montrer que \(A\) est semblable à un élément de \({\cal F}\).
On suppose que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits u\cap \mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits u\neq \{0\}\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits u \subset \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits u\). En déduire que \(A\) est encore semblable à un élément de \({\cal F}\).
On suppose que \(A\in E\) est de rang \(2\). On note \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) canoniquement associé à \(A\).
On suppose que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits u\cap \mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits u\neq \{0\}\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits u \subset \mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits u\). Soit alors \(x\) un vecteur non nul de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits u\) et \(y\) tel que \(x=u(y)\). En utilisant ces deux vecteurs, montrer que \(A\) est encore semblable à un élément de \({\cal F}\).
Soit \(A\in E\) admettant une valeur propre réelle. Montrer que \(A\) est semblable à un élément de \({\cal F}\).
[planches/ex4130] ccp PC 2018 Soit \(A=\pmatrix{0&5/4&2\cr2&0&-2\cr0&3/4&2}\).
[planches/ex4130]
En déduire l’ensemble \(\{M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R}),\ AM=MA\}\).
La plupart des textes affichés provoquent l'apparition de bulles d'aide au passage de la souris