Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex6689] mines MP 2021 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension finie, \(u\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(u^3=\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\), \(\mu\in\mathbf{R}\), \(x_0\in E\). Résoudre dans \(E\) l’équation \(\mu u(x)+x=x_0\).

[concours/ex1803] mines MP 1999 Soit \(A\) la matrice réelle : \[\left(\begin{array}{ccc} 2&2&4\\2&-4&-2\\1&1&2\end{array}\right).\] Déterminer l’ensemble des matrices réelles qui commutent avec \(A\), puis résoudre dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\), pour \(n\in\mathbf{N}^*\), l’équation \(X^n=A\).

[concours/ex9447] mines 2004 Trouver les \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) diagonalisables et telles que \(A^3+A-2I_n=0\).

[concours/ex9882] ccp PSI 2009 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^2=2A+8I_n\).

1. La matrice \(A\) est-elle inversible ? diagonalisable ?

2. Trouver les \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(I_n,A)\) telles que \(M^2=2M+8I_n\).

[planches/ex1863] polytechnique, espci PC 2017 Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(M^3\neq M^4\) et \(M^4=M^5\) ? et dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) ?

[oraux/ex7379] ens paris MP 2013 Déterminer les matrices \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\) telles que \(\forall k\in\mathbf{N}^*\), \(\exists M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\) : \(M^k=A\).

[planches/ex9727] mines MP 2023 Quels sont les \(n\in\mathbf{N}\) tels qu’existe \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) vérifiant \(A^3-A^2=I_n\) ?

[planches/ex6374] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes PC 2021

1. Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\). Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :

   1. \(\exists B\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\), \(A=B^2\) ;

   2. \(A=0\) ou \(A^2\neq0\).

2. Déterminer si les matrices suivantes sont des carrés dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) : \[\pmatrix{-1&0\cr0&-1},\quad\pmatrix{1&0\cr0&-1},\quad\pmatrix{0&1\cr-1&0}.\]

3. Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe \(B\) et \(C\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telles que \(A=B^2+C^2\).

[planches/ex4784] polytechnique, espci PC 2019 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^3=-A\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\).

[concours/ex8598] tpe MP 2006 Résoudre dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) l’équation \(X^2+X=\left(\begin{array}{ccc}6&0&0\\0&2&-2\\0&0&0\end{array}\right)\).

[planches/ex2803] imt PC 2017 À quelles conditions sur \(a\), \(b\in\mathbf{R}\) existe-t-il une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) inversible telle que \(M^2+aM+bI_n=0_n\) ?

[examen/ex1066] ens lyon MP 2024 Combien y-a-t-il de classes de similitude de \(\mathscr{M}_{3n}(\mathbf{R})\) constituées de matrices \(M\) telles que \(M^3=0\) ?

[oraux/ex7574] mines MP 2014 Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_4(\mathbf{Q})\) dont \(\sqrt2\) et \(\sqrt3\) est valeur propre et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=1\) ?

[examen/ex0601] imt MP 2023 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(4A^3+4A^2+A=0\).

1. Étudier la convergence et la limite éventuelle de la suite \((A^k)_{k\in\mathbf{N}}\).

2. Qu’en déduire sur la matrice \(A\) ?

[planches/ex8723] centrale PC 2022 Soit \(\theta\in\left]0,\pi\right[\).

1. Montrer que toute solution de \(A^2-2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(\theta)A+I_2=0\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) est semblable à \(R=\pmatrix{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta&-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta&\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta}\).

2. Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^2-2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(\theta)A+I_n=0\). Montrer que \(n\) est pair et que \(A\) est semblable à une matrice diagonale par blocs dont tous les blocs diagonaux sont égaux à \(R\).

[oraux/ex4172] centrale MP 2011 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) diagonalisables et telles que \(A^3=B^3\). Montrer : \(A=B\).

[planches/ex5383] centrale PSI 2019 Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) vérifiant \((E_1)\) : \(A^4+I_2=0\) et \((E_2)\) : \(A^TA=AA^T\). On note \(u\) et \(v\) les endomorphismes respectivement représentés par \(A\) et \(A^T\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^2\).

1. 1. Montrer que \(A\) est diagonalisable dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\). Quelles sont les valeurs propres possibles ?

   2. Montrer que tout vecteur propre de \(u\) est vecteur propre de \(v\).

2. Quelles sont les matrices satisfaisant \((E_1)\) et \((E_2)\) ?

[concours/ex9773] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2009 Soient \(A\), \(B\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) avec \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(B)\). On suppose que si \(a\) est une valeur propre de \(A\) et \(b\) une valeur propre de \(B\) alors \(b-a\not\in2i\pi\mathbf{Z}\setminus\{0\}\). Montrer que \(A=B\).

[concours/ex9906] ens lyon PC 2010 Trouver tous les couples \((A,B)\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})^2\) tels que \(B^2=ABA^{-1}\).

[planches/ex2659] ccp MP 2017 Soit \(P=X^5+X+1\).

1. Montrer que \(P\) admet une unique racine réelle et que celle-ci est strictement négative.

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_{15}(\mathbf{R})\) telle que \(A^5+A+I_{15}=0\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)<0\).

[oraux/ex5153] polytechnique, espci PC 2012 Existe-t-il \(A\in{\cal M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(A^{2012}=\left( \begin{array}{cc} -1&0\\0&-2\end{array}\right)\) ?

[oraux/ex4604] escp S 2011 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2\end{array}\right)\) et \(J=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)\).

On note respectivement \(a\) et \(j\) les endomorphismes de \(\mathbf{R}^3\) canoniquement associés aux matrices \(A\) et \(J\).

1. 1. Calculer \(J^n\) pour tout \(n\) de \(\mathbf{N}\).

   2. En déduire que \(A^n= I +\displaystyle{4^n-1\over3} J\), où \(I\) désigne la matrice identité d’ordre \(3\).

2. Montrer que \(a\) admet deux valeurs propres réelles \(\lambda\) et \(\mu\) avec \(\lambda <\mu\).

3. 1. Montrer qu’il existe un unique couple \((p,q)\) d’endomorphismes de \(\mathbf{R}^3\), tel que pour tout \(n\) de \(\mathbf{N}\) : \(a^n =\lambda^np+\mu^nq\).

   2. Montrer que \(p\) et \(q\) sont deux projecteurs vérifiant \(p\mathbin{\circ} q=q\mathbin{\circ} p=0\).

4. Déterminer les endomorphismes \(h\) de \(\mathbf{R}^3\), combinaisons linéaires de \(p\) et \(q\) tels que \(h^2=h\mathbin{\circ} h=a\).

5. Montrer qu’il existe un endomorphisme \(h\) de \(\mathbf{R}^3\) qui n’est pas combinaison linéaire de \(p\) et \(q\) et qui est tel que \(h^2=a\).

[examen/ex1214] ens PC 2024 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(M^3=0\). Montrer qu’il existe une unique matrice \(X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(X+MX+XM^2=M\).

[oraux/ex7047] polytechnique MP 2014 Résoudre l’équation \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(X)=I_n\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).