Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex4640] polytechnique MP 2019 Déterminer les \(n\in\mathbf{N}^*\) tels qu’existe \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de polynôme minimal \(X^3+2X+2\). Même question dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{Q})\).

[concours/ex9765] ens paris MP 2009 Pour \(K=\mathbf{C}\), \(\mathbf{R}\) ou \(\mathbf{Q}\), trouver les \(n\) tels qu’il existe \(A\in\mathscr{M}_n(K)\) \(A^2+2A+5I_n=0\).

[concours/ex6100] centrale PC 2007 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) diagonalisable. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe \(X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(X^2=A\).

[concours/ex8778] polytechnique, espci PC 2009 Trouver les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(A^2+A+I_2=\left(\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right)\).

[planches/ex6871] mines PSI 2021 Diagonaliser \(A=\pmatrix{3&5\cr0&-12}\) puis résoudre l’équation \(M^3+2M=A\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

[concours/ex5197] escp S 2007 Soit \(A=\left(\begin{array}{cc} -5 & 3\\ 6 & -2\end{array}\right)\).

Soit \(n\in \mathbf{N}^*\). L’équation \(X^n=A\), d’inconnue \(X\in {\cal M}_2(\mathbf{R})\), admet-elle au moins une solution ?

[planches/ex9108] escp B/L 2023 Soit \(n\in\mathbb{N}^*\), on note \(\mathscr{M}_n(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices carrées d’ordre \(n\) à coefficients réels.

Si \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbb{R})\), on désigne respectivement par \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(M)=\left\{X\in\mathscr{M}_{n,1}(\mathbb{R})\mid MX=0\right\}\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(M)=\left\{MX\mid X\in\mathscr{M}_{n,1}(\mathbb{R})\right\}\) le noyau et l’image de \(M\).

On dit qu’une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbb{R})\) est involutive si \(M^2=I\) où \(I\) est la matrice identité d’ordre \(n\).

1. On considère une matrice involutive \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbb{R})\).

   1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(I-A)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(I+A)\) sont supplémentaires. En déduire que \(A\) est diagonalisable.

   2. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)\in[[-n,n]]\). Étudier la parité de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)\) en fonction de celle de \(n\).

   3. Que peut-on dire de plus sur les sous espaces \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(I-A)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(I+A)\) lorsque \(A\) est aussi symétrique ?

      (\(\mathscr{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) est muni du produit scalaire canonique).

2. Dans cette question, on considère deux matrices involutives \(A\) et \(B\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbb{R})\).

   1. Développer et simplifier les produits \((A+B)(A-B)\) et \((A-B)(A+B)\).

   2. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(AB-BA)\subset\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(A+B)\cap\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(A-B)\).

   3. Prouver que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(AB-BA)=\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(A+B)\cap\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(A-B)\).

3. On se place dans le cas où \(n=2\) et on considère les matrices \[M=\pmatrix{0&1\cr1&0},\quad N_1=\pmatrix{1&0\cr0&0}\quad\hbox{et}\quad N_2=\pmatrix{-1&-1\cr1&1}.\]

   1. Existe-t-il \(Z\in\mathscr{M}_2(\mathbb{R})\) qui soit solution de l’équation \(MZ-ZM=N_1\) ?

   2. On cherche maintenant à savoir s’il existe une matrice involutive \(A\) qui vérifie \(MA-AM=N_2\). Montrer que l’on a nécessairement \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\). En utilisant la question 2c déterminer l’ensemble des possibilités pour une telle matrice involutive \(A\).

   3. Si \(A\) et \(Z\) sont deux solutions de l’équation \(MU-UM=N_2\) d’inconnue \(U\in\mathscr{M}_2(\mathbb{R})\), que peut on dire de la matrice \(Z-A\) ? En déduire l’ensemble des solutions de l’équation \(MU-UM=N_2\).

[oraux/ex0028] ccp MP 2010 Soit \(M\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) diagonalisable. Existe-t-il \(A\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(A^2=M\) ? Même question en remplaçant \(\mathbf{C}\) par \(\mathbf{R}\).

[concours/ex7377] centrale MP 2010

1. Résoudre, avec puis sans Maple, l’équation \(x^2-4x+3=0\) dans \(\mathbf{Z}/11\mathbf{Z}\) puis dans \(\mathbf{Z}/143\mathbf{Z}\).

2. Résoudre, avec puis sans Maple, l’équation \(M^2-4M+3I_2=0\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{Z}/11\mathbf{Z})\).

[concours/ex8895] polytechnique, espci PC 2010 Déterminer les \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telles que telles que : \(A^2+A+I_2=\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&1\end{array}\right)\).

[planches/ex2310] mines PC 2017 Soit \(A=\pmatrix{-5&6\cr3&-2}\).

1. Montrer que \(A\) est diagonalisable ; préciser ses valeurs propres.

2. Déterminer les \(B\) telles que \(B^2=A\).

[oraux/ex3832] mines MP 2011 Résoudre dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) : \(X^2=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{array}\right)\).

[planches/ex3618] mines PSI 2018 Soit \(P\in\mathbf{R}[X]\) non constant et \(n\in\mathbf{N}^*\).

1. Montrer qu’il existe une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(P(M)=0_n\).

2. Soit \(a\), \(b\in\mathbf{R}\) tels que \(Q=X^2+aX+b\) n’admette pas de racine réelle. Montrer qu’il existe une matrice \(N\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(P(N)=0_2\).

3. Existe-t-il toujours une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(P(M)=0_n\) ?

[planches/ex4788] polytechnique, espci PC 2019 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Q})\) telle que \(A^3+2A+2I_n=0\). Montrer que 3 divise \(n\).

[concours/ex9616] centrale PC 2006 Soient \(E\) un \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel de dimension 2 et \(u\in\mathscr{L}(E)\) diagonalisable. Résoudre l’équation \(v^2=u\) d’inconnue \(v\in\mathscr{L}(E)\). L’ensemble des solutions est-il fini ?

[planches/ex1863] polytechnique, espci PC 2017 Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(M^3\neq M^4\) et \(M^4=M^5\) ? et dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) ?

[oraux/ex7379] ens paris MP 2013 Déterminer les matrices \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\) telles que \(\forall k\in\mathbf{N}^*\), \(\exists M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\) : \(M^k=A\).

[examen/ex1214] ens PC 2024 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(M^3=0\). Montrer qu’il existe une unique matrice \(X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(X+MX+XM^2=M\).

[concours/ex9751] ensea PSI 2008 Trouver les \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(2M+M^2+3M^3=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=0\).

[concours/ex9548] centrale MP 2005

1. Diagonaliser \(M=\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&1\\0&0&0&2\\0&0&0&3\\1&2&3&0\end{array} \right)\).

2. Trouver deux matrices \(A\) et \(B\) telles que \(\forall n\geqslant 1\), \(M^n=14^{n/2}(A+(-1)^nB)\).

3. Déterminer le commutant de \(M\) et sa dimension. En déduire les solutions de l’équation \(X^2=M\).

[planches/ex4441] ens paris MP 2019 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \((A,B)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})^2\) tel que \(AB=BA\) et \(A^n=B^n=I_n\). Montrer que si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AB)=n\) alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(B)\).

[concours/ex9920] polytechnique MP 2010 Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits A=\left(\begin{array}{cc}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t&-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t\\\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t&\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\end{array}\right)\).

[oraux/ex7515] petites mines PSI 2013 Trouver les \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=3\) et \(M^5=M^2\).

[concours/ex9597] centrale MP 2006 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). On étudie l’équation : \(M^2=A\) \((*)\) d’inconnue \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

1. Pour \(n=2\), trouver \(A\) telle que \((*)\) admette \((1)\) aucune solution ; \((2)\) un ensemble fini non vide de solutions ; \((3)\) une infinité de solutions.

2. Pour \(n=3\), résoudre \((*)\) avec \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}\right)\), puis avec \(A=\left(\begin{array}{ccc}2&0&0\\1&2&1\\0&1&3\end{array}\right)\).

3. Étudier l’équation \((*)\) dans le cas où le polynôme caractéristique \(\chi\) de \(A\) est scindé sur \(\mathbf{R}\) et à racines simples et strictement positives.

4. Étudier l’équation \((*)\) dans le cas où \(\chi\) est scindé sur \(\mathbf{R}\) et à racines simples et positives.

5. Étudier l’équation \((*)\) dans le cas où \(\chi\) est scindé sur \(\mathbf{R}\) et à racines simples et non toutes positives.

6. Résoudre dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) l’équation \(M^n=I_n\).

[examen/ex0057] mines PSI 2023 Soit \(A=\pmatrix{1&0&0\cr1&2&1\cr2&-2&-1}\).

1. Donner le spectre de \(A\) et ses espaces propres. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_3(\mathbf{R})\) tel que \(A=PTP^{-1}\) avec \(T=\pmatrix{0&0&-3\cr0&1&4\cr0&0&1}\).

3. Trouver l’ensemble des matrices \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(MT=TM\).

4. Soit \(N\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(N^2=T\). Montrer que \(NT=TN\).

   Trouver l’ensemble des matrices \(N\) telles que \(N^2=T\).

5. En déduire l’ensemble des matrices \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(A=M^2\).

[concours/ex9882] ccp PSI 2009 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^2=2A+8I_n\).

1. La matrice \(A\) est-elle inversible ? diagonalisable ?

2. Trouver les \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(I_n,A)\) telles que \(M^2=2M+8I_n\).

[planches/ex5675] ccinp PC 2019 Soient \(A=\pmatrix{7&-6\cr3&-2}\) et \(\Delta=\pmatrix{1&0\cr0&4}\).

1. Soit \(X\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(X^2=\Delta\). Montrer que \(X\) et \(\Delta\) commutent puis que \(X\) est diagonale.

2. Résoudre l’équation \(M^2=A\) d’inconnue \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

[oraux/ex7574] mines MP 2014 Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_4(\mathbf{Q})\) dont \(\sqrt2\) et \(\sqrt3\) est valeur propre et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=1\) ?

[concours/ex8598] tpe MP 2006 Résoudre dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) l’équation \(X^2+X=\left(\begin{array}{ccc}6&0&0\\0&2&-2\\0&0&0\end{array}\right)\).

[concours/ex2152] polytechnique M 1995 Soit \[E=\left\{\left(\begin{array}{ccc}a&b&c\\c&a&b\\b&c&a\end{array}\right) \in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\right\}.\] Déterminer toutes les matrices de \(E\) telles que \(M^2=I_3\). Interprétation géométrique de ces matrices.

[concours/ex9728] centrale MP 2008 Soit \(A\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) admettant deux valeurs propres distinctes \(\lambda\) et \(\mu\). Trouver un polynôme \(P\) de \(\mathbf{C}[X]\) tel que \(e^A=P(A)\).

[planches/ex1988] mines MP 2017 Soit \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\). On suppose \[A(A^2-I_n)(A^{-2}-I_n)^2=0.\]

1. La matrice \(A\) est-elle forcément diagonalisable ? et si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^n)=n\) ?

2. On suppose \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^2)\). Que peut-on dire ?

[planches/ex6070] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2021 Soit \(p\) un nombre premier.

1. Déterminer les matrices \(A\) de \(\mathscr{M}_p(\mathbf{C})\) telle que \(A^p=I_p\).

2. Déterminer les matrices \(A\) de \(\mathscr{M}_p(\mathbf{Q})\) telle que \(A^p=I_p\).

[oraux/ex6043] escp S 2014 Dans tout l’exercice \(n\) est un entier naturel supérieur ou égal à \(2\).

Soit \(A \in \mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). On dit qu’une matrice \(R \in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) est une racine carrée de \(A\) lorsque \(R^2 = A\).

1. Déterminer toutes les racines carrées de la matrice nulle de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

2. Dans cette question, on s’intéresse aux racines carrées \(R\in \mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de la matrice nulle de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

   Soit \(R\) une telle matrice et \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^n\) de matrice \(R\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^n\) ; enfin, soit \(r\) le rang de \(f\).

   1. Comparer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(f)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f)\) et montrer que \(r \leqslant n/2\).

      On suppose \(r \geqslant 1\) ; on note \(( e_1,\ldots,e_r,e_{r+1},\ldots,e_{n-r})\) une base de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f)\) telle que \(( e_1,\ldots,e_r)\) soit une base de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(f)\).

   2. Justifier que, pour \(i \in [[1,r]]\), il existe un vecteur \(u_i\) de \(\mathbf{R}^n\) tel que \(f(u_i) = e_i\). Montrer qu’alors la famille \(\mathscr{B}=(e_1,\ldots,e_{n-r},u_1,\ldots,u_r)\) est une base de \(\mathbf{R}^n\) et expliciter la matrice \(M_r\) de \(f\) dans cette base.

   3. En déduire une expression de toutes les matrices de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) qui sont racines carrées de la matrice nulle de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

      Expliciter dans le cas \(n = 4\).

3. Dans cette question, on s’intéresse aux racines carrées \(R \in \mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de la matrice identité \(I_n \in \mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

   1. Déterminer les matrices diagonalisables \(R \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\) qui sont racines carrées de \(I_n\).

      Soit \(R\) une racine carrée de \(I_n\); on note encore \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^n\) de matrice \(R\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^n\).

   2. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f+id) \cap \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-id) = \{ 0 \}\).

   3. Déterminer deux polynômes \(P\) et \(Q\) de \(\mathbf{R}[X]\) tels que : \[P(X)(X+1)+Q(X)(X-1) = 1\] En déduire que \(\mathbf{R}^n = \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f+id) \oplus \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-id)\).

   4. Justifier que \(f\) est diagonalisable et en déduire toutes les solutions \(R\) cherchées.

[concours/ex1792] mines MP 1999 Résoudre \(X^n=\left(\begin{array}{cccc} 2&0&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{array}\right)\) lorsque \(X\) est une matrice carrée complexe. Quelles sont les solutions réelles ?

[planches/ex6072] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2021

1. Soient \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) et \(\Phi_A:M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\mapsto AM+MA\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). Montrer que \(\Phi_A\) est diagonalisable si et seulement si \(A\) est diagonalisable.

2. Soit \(P\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). Donner une partie \(W\) dense dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que, pour tout \(U\in W\), il existe un unique \(V\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel que \(UV+VU=P\).

[planches/ex2803] imt PC 2017 À quelles conditions sur \(a\), \(b\in\mathbf{R}\) existe-t-il une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) inversible telle que \(M^2+aM+bI_n=0_n\) ?

[concours/ex6638] hec E 2008 Pour tout nombre réel \(a\), on note \(A(a)\) la matrice : \(A(a)=\left[\begin{array}{ccc}2&1&a\\1&1+a&1\\a&1&2\end{array}\right]\).

1. 1. Question de cours : Rappeler la définition d’une matrice diagonalisable.

   2. Montrer que si une matrice est diagonalisable, sa transposée est également diagonalisable.

2. 1. Justifier le fait que pour tout \(a\) réel, la matrice \(A(a)\) est diagonalisable.

   2. Montrer que \(a\) est valeur propre de \(A(a)\) et déterminer la dimension du sous-espace propre associé.

   3. Calculer \(A(a)\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]\) et \(A(a)\left[\begin{array}{c}1\\0\\ -1\end{array}\right]\).

   4. Diagonaliser \(A(a)\).

3. Soit \((x_n)_{n\in\mathbf{N}}\), \((y_n)_{n\in\mathbf{N}}\) et \((z_n)_{n\in\mathbf{N}}\) trois suites réelles vérifiant, pour tout \(n\) entier naturel, \(\left\{\begin{array}{rcl} x_{n+1}&=&2x_n+y_n\\y_{n+1}&=&xn_+y_n+z_n\\z_{n+1}&=&y_n+2z_n \end{array}\right.\)

   1. Si l’on pose pour tout \(n\) entier naturel, \(X_n=\left[\begin{array}{c}x_n\\y_n\\z_n\end{array}\right]\), quelle relation a-t-on entre \(X_{n+1}\) et \(X_n\) ?

   2. Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur \(x_0\), \(y_0\) et \(z_0\) pour que les suites \((x_n)\), \((y_n)\) et \((z_n)\) soient bornées. Que peut-on dire alors de ces trois suites ?

4. 1. Montrer que si \(B\) et \(B'\) sont deux matrices semblables de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) et qu’il existe \(C\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(C^2=B\), alors il existe \(C'\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(C'^2=B'\).

   2. Montrer que si \(B\) et \(C\) sont deux matrices de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(C^2=B\), alors \(BC=CB\).

   3. Si \(a\in\mathbf{R}\), déterminer les matrices de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) commutant avec la matrice \(\left[\begin{array}{ccc}3&0&0\\0&6&0\\0&0&-1\end{array}\right]\).

   4. Existe-t-il une matrice \(M\) de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(M^2=A(3)\) ?

[examen/ex1066] ens lyon MP 2024 Combien y-a-t-il de classes de similitude de \(\mathscr{M}_{3n}(\mathbf{R})\) constituées de matrices \(M\) telles que \(M^3=0\) ?

[planches/ex1372] escp courts 2017 L’équation \(A^2=A-I_2\), d’inconnue \(A\in {\cal M}_2(\mathbf{C})\) admet-elle des solutions non diagonalisables ?

[oraux/ex7047] polytechnique MP 2014 Résoudre l’équation \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(X)=I_n\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

[planches/ex4445] ens paris MP 2019 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(p\in\mathbf{N}^*\), \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) admettant \(n\) valeurs propres distinctes. Résoudre \(AX-XA=X^p\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

[concours/ex5511] polytechnique PC 2007 Soient \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\1&0&0\\1&1&0\end{array}\right)\) et \(B=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&2&0\\1&1&3\end{array}\right)\). Déterminer les \(X\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(X^2=A\), puis telles que \(X^2=B\).

[oraux/ex4172] centrale MP 2011 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) diagonalisables et telles que \(A^3=B^3\). Montrer : \(A=B\).

[oraux/ex7652] polytechnique, espci PC 2015 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) la matrice dont tous les coefficients sont égaux à 1. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^3=M\). Montrer que \((\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A)^3=n\).

[planches/ex5683] ccinp PC 2019 Soit \(A=\pmatrix{1&-2\cr-3&-1}\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Est-ce que \(A\) admet une racine carrée réelle ?

[planches/ex4888] mines MP 2019 Si \(n\in\mathbf{N}^*\), déterminer les \(M\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(M\) et \(M^2\) soient semblables.

[examen/ex0601] imt MP 2023 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(4A^3+4A^2+A=0\).

1. Étudier la convergence et la limite éventuelle de la suite \((A^k)_{k\in\mathbf{N}}\).

2. Qu’en déduire sur la matrice \(A\) ?

[concours/ex9519] mines MP 2005 Trouver les \(A\) de \(\mathscr{M}_6(\mathbf{C})\) telles que \(A^3-5A^2+8A-4I=0\) ; \(A^2-3A+2I\neq0\) ; \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A=8\).

[concours/ex9883] ensea PSI 2009 Trouver les \(M\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) telles que : \[M^3-M^2+M-I_n=0.\]