Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex8579] imt MP 2016 Soient \(E\) un \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\geqslant 1\) et \(u\in\mathscr{L}(E)\) un endomorphisme ayant \(n\) valeurs propres distinctes.

1. Que peut-on dire de \(u\) ?

2. Montrer que si \(g\in\mathscr{L}(E)\) est solution de l’équation \((E)\) : \(g^2=u\), alors tout vecteur propre de \(u\) est aussi vecteur propre de \(g\).

3. Combien l’équation \((E)\) admet-elle de solutions ?

[concours/ex0694] ensae MP 1997 Déterminer les matrices \(X\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telles que \(X^3-2X=\left(\begin{array}{cc}-1&0\\10&4\end{array}\right)\).

[examen/ex0816] navale PC 2023 On considère les deux matrices \(D=\pmatrix{-1&0\cr0&4}\) et \(A=\pmatrix{-1&0\cr10&4}\).

1. Quelles sont les racines réelles de \(X^3-2X+1\) et \(X^3-2X-4\) ?

2. Trouver toutes les matrices de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) qui commutent avec \(D\).

3. Résoudre \(M^3-2M=D\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

4. Résoudre \(M^3-2M=A\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

[planches/ex6957] mines PC 2021 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel et \(v\in\mathscr{L}(E)\) un endomorphisme surjectif dont le noyau est une droite vectorielle.

1. Donner un exemple d’un tel endomorphisme si \(E=\mathbf{R}[X]\).

2. L’espace \(E\) peut-il être de dimension finie ?

3. Montrer qu’il n’existe pas d’endomorphisme \(u\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(u\mathbin{\circ} u=v\).

[oraux/ex4761] escp S 2012 Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\). Soient \(A\) et \(R\) deux matrices carrées réelles d’ordre \(n\). On dit que \(R\) est une racine carrée de \(A\) si \(R^2=A\).

1. 1. Soit \(\theta\) un réel quelconque et \(R(\theta)\) la matrice : \(R(\theta)=\left(\begin{array}{cc}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits \theta & \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits \theta\\ \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits \theta &- \mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits \theta\end{array}\right)\).

      Calculer le carré de cette matrice et en déduire que la matrice identité d’ordre \(2\) admet une infinité de racines carrées.

   2. Montrer que la matrice \(\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)\) n’a pas de racine carrée.

2. 1. Donner le développement limité à l’ordre \(3\) au voisinage de \(0\) de \(t \mapsto \sqrt{1+t}\).

   2. Soit \(N\) une matrice carrée d’ordre \(n\) telle que \(N^4=0\). Déduire de la question précédente une racine carrée de la matrice \(I+N\).

3. Soit \(f\) et \(g\) deux endomorphismes de \(\mathbf{R}^n\). On suppose que \(f\mathbin{\circ} g= g\mathbin{\circ} f\) et que \(f\) admet \(n\) valeurs propres réelles distinctes.

   1. Montrer que tout sous-espace propre de \(f\) est stable par \(g\).

   2. Montrer que tout vecteur propre de \(f\) est vecteur propre de \(g\).

   3. Justifier que \(f\) et \(g\) sont diagonalisables.

   4. Soit \(A\) la matrice de \(f\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^n\). Combien \(A\) admet-elle de racines carrées ?

[oraux/ex7543] polytechnique MP 2014 Soient \(A\) et \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(AB^2-B^2A=B\). Montrer que \(B\) est nilpotente d’ordre impair.

[planches/ex2004] mines MP 2017 Soient \(n\geqslant 2\), \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) nilpotente d’indice \(n\) et \(\lambda\in\mathbf{C}^*\). Montrer qu’il existe \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(\lambda I_n+A=\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(B)\).

[oraux/ex7594] mines PC 2014 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(AB^2-B^2A=B\). Calculer \(AB^{2k}-B^{2k}A\) pour \(k\in\mathbf{N}^*\). En déduire que \(B\) est nilpotente.

[concours/ex6357] polytechnique MP 2006 Soit \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) nilpotente. Trouver \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(e^A=I_n+N\).

[oraux/ex6936] mines MP 2013 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), nilpotente d’indice \(n\). Montrer qu’elle est semblable à la matrice \(N=(n_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) telle que \(n_{i,i+1}=1\) pour \(1\leqslant i\leqslant n-1\), les autres coefficients étant nuls. En déduire l’existence d’une matrice \(B\) telle que \(e^B=xI_n+A\).

[concours/ex9919] polytechnique MP 2010 La matrice \(-I_2\) de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) est-elle un carré ? Une exponentielle ?

[planches/ex2726] ccp PSI 2017 Déterminer les \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(M^3-4M^2+4M=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=0\).

[oraux/ex7205] mines MP 2015 Trouver les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) telles que \(4A^3+2A^2+A=0\).

[concours/ex6497] polytechnique PC 2006 Condition nécessaire et suffisante sur l’entier \(n\) pour qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) vérifiant : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=0\) et \(M^3-M^2-M-2I_n=0\).

[concours/ex5320] ens PC 2007

1. Si \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\), comment peut-on définir \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits A\) ?

2. Soient \(A\) et \(B\) deux matrices semblables de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Que dire de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits A\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits B\) ?

3. Existe-t-il \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(A)=\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right)\) ?

[planches/ex4645] polytechnique MP 2019 Soit \(a\in\mathbf{C}\). Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) l’équation \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(M)=\pmatrix{1&a\cr0&1}\).

[examen/ex1056] ens lyon MP 2024 Déterminer l’image de \[\varphi:M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\mapsto\sum\limits_{n\in\mathbf{N}} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}M^{2n+1}.\]

[concours/ex6555] mines MP 2006 Trouver les \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(A^3-4A^2+4A=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A=8\).

[concours/ex8985] centrale PC 2010 Soient \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) tel que \(a^2-4b<0\), \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension finie et \(u\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(u^2+au+b\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_E=0\).

1. Soit \(x\in E\setminus\{0\}\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(x,u(x))\) est un plan et que ce plan est stable par \(u\).

2. Montrer que \(E\) est somme directe de plans stables par \(u\). En déduire que la dimension de \(E\) est paire. Pouvait-on le déduire directement de la relation \(u^2+au+b\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_E=0\) ?

3. Déterminer les \(v\in\mathscr{L}(E)\) tels que \(v^2+av+b\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_E=0\).

[concours/ex9467] centrale 2004 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). On note \(\mathbf{C}[M]\) l’algèbre des polynômes complexes en \(M\), et \(I_M=\{A\in\mathbf{C}[M],\ A^2=I_n\}\).

1. On suppose \(M\) diagonalisable. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits(\mathbf{C}[M])\) ainsi que le cardinal de \(I_M\).

2. On suppose \(M\) nilpotente. Déterminer \(I_M\).

3. Quel est le cardinal de \(I_M\) dans le cas général ?

[oraux/ex0019] centrale PC 2010 Soient \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), \(\mathbf{C}[M]=\{P(M),\ P\in\mathbf{C}[X]\}\) et \(E=\{A\in\mathbf{C}[M],\ A^2=I_n\}\).

1. Vérifier que \(\mathbf{C}[M]\) est un \(\mathbf{C}\)-espace de dimension finie.

2. On suppose que la matrice \(M\) est diagonalisable et qu’elle possède \(p\) valeurs propres distinctes. Déterminer la dimension de \(\mathbf{C}[M]\) ainsi que le cardinal de \(E\).

3. On suppose \(M\) nilpotente. Déterminer \(E\).

[concours/ex9917] polytechnique MP 2010 Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\). Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) l’équation \(X^2=A\), l’équation \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(X)=A\).

[oraux/ex7441] mines PSI 2013 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Déterminer les \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(M^3-M^2-M-2I_n=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=0\).

[examen/ex0817] ccinp PC 2023 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(M^3-4M^2+4M=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=0\).

1. Montrer que les valeurs propres de \(M\) sont racines de \(P=X^3-4X^2+4X\).

2. Caractériser les matrices \(M\).

[planches/ex2003] mines MP 2017 Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). On définit : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(A)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}{(-1)^n\over(2n+1)\,!}A^{2n+1}\). Existe-t-il \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) tel que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(A)=\pmatrix{1&1996\cr0&1}\) ? Que dire dans le cas de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) ?

[planches/ex3620] mines PSI 2018 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) telle que \(4A^3+2A^2+A=0\). Montrer que \((A^k)_{k\geqslant 0}\) converge et déterminer sa limite. Qu’en déduire sur \(A\) ?

[oraux/ex7289] polytechnique MP 2016 Résoudre dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) l’équation \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(M)=-I_n\).

[oraux/ex7263] ccp PC 2015 Trouver les matrices \(A\in\mathscr{M}_4(\mathbf{R})\) telles que \(A^2=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(1,2,-1,-1)\).

[concours/ex2643] polytechnique pox M 1994 Résoudre l’équation \(X^n=\left(\begin{array}{cc}2&3\\4&6\end{array}\right)\).

[concours/ex3941] polytechnique pox M 1990 Trouver, pour \(n\in\mathbf{N}\) donné, les \(X\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telles que \[X^n=\left[\begin{array}{cc}1&2\\2&4\end{array}\right].\]

[oraux/ex7396] polytechnique MP 2013 Existe-t-il \(A\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(A)=-I_2\) ?

[concours/ex8343] centrale 2003 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) et \((E_n)\) l’équation \(M^2-(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M)M+(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M)I_n=0\).

Résoudre \((E_2)\), puis \((E_3)\), puis \((E_n)\).

[concours/ex9538] centrale MP 2005 Soient \(u\) et \(v\) dans \(\mathscr{L}(\mathbf{R}^n)\) diagonalisables et tels que \(u^3=v^3\). Montrer que \(u=v\).

[planches/ex9184] ens paris MP 2023 Le groupe \(\mbox{GL}_2(\mathbf{Q})\) contient-il un élément d’ordre \(5\) ?

[oraux/ex7566] mines MP 2014 Existe-t-il \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{Q})\setminus\{I_3\}\) telle que \(A^5=I_3\) ?

[planches/ex4900] mines MP 2019 Déterminer les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(A^5-2A^4-2A^3+A^2+4A+4I_n=0\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)=\pm1\).

[oraux/ex7397] polytechnique MP 2013 Résoudre \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(M)=\pmatrix{1&1\cr0&1}\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\).

[oraux/ex7591] mines PC 2014 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) diagonalisable et \(P\in\mathbf{C}[X]\) avec \(\mathop{\mathchoice{\hbox{deg}}{\hbox{deg}}{\mathrm{deg}}{\mathrm{deg}}}\nolimits P\geqslant 1\). Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel que \(P(M)=A\).

[concours/ex9506] polytechnique PC 2005 Soit \(P\) un polynôme réel tel que la fonction \(x\mapsto P(x)\) de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) est injective. Soient \(A\) et \(B\) des matrices carrées réelles diagonalisables telles que \(P(A)=P(B)\). Montrer que \(A=B\).

[oraux/ex7774] mines PSI 2016 On considère le polynôme \[P=X^5-2X^4-2X^3+X^2+4X+4.\]

1. Trouver les racines de \(P\) parmi \(\{-2,-1,0,1,2\}\) et factoriser \(P\) sous forme de produit d’irréductibles dans \(\mathbf{R}[X]\) puis dans \(\mathbf{C}[X]\).

2. Chercher les entiers \(n>0\) tels qu’il existe une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) vérifiant : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M^3)=0\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(M)=\pm1\) et \(P(M)=0\).

[oraux/ex7124] centrale MP 2014 Pour \(n\geqslant 2\), on définit l’équation \((E_n)\) : \(M^2-(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M)M+(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M)I_n=0\) d’inconnue \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

1. Montrer que si \(M_1\) est solution de \((E_n)\) et si \(M_2\) est semblable à \(M_1\) alors \(M_2\) est solution de \((E_n)\).

2. Résoudre \((E_n)\) pour \(n=2\), \(n=3\) puis \(n\geqslant 4\).

[concours/ex9929] polytechnique, espci PC 2010 Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\). Montrer que \(A\) est diagonalisable si et seulement si, pour tout \(P\in\mathbf{C}[X]\) non constant, il existe \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) tel que \(P(M)=A\).

[concours/ex2847] ens paris M 1994 Montrer que le groupe \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{Q})\) ne contient pas d’élément d’ordre \(5\).

[concours/ex9794] polytechnique PC 2009 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) diagonalisables telles que \(A^2=B^2\) et \(A^3=B^3\). Montrer que \(A=B\). Est-ce toujours le cas si on ne suppose plus \(A\) et \(B\) diagonalisables ?

[oraux/ex3832] mines MP 2011 Résoudre dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) : \(X^2=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{array}\right)\).

[concours/ex9792] polytechnique PC 2009

1. Trouver une équation algébrique vérifiée par \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(2\pi/5)\).

2. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(2\pi/5)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(4\pi/5)\).

3. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^4+A^3+A^2+A+I_n=0\). On suppose que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A\) est dans \(\mathbf{Q}\). Montrer que \(n\) est divisible par 4.

4. Réciproquement, si \(n\) est divisible par 4, montrer qu’il existe une matrice \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A\in\mathbf{Q}\) et \(A^4+A^3+A^2+A+I_n=0\).

[planches/ex9108] escp B/L 2023 Soit \(n\in\mathbb{N}^*\), on note \(\mathscr{M}_n(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices carrées d’ordre \(n\) à coefficients réels.

Si \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbb{R})\), on désigne respectivement par \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(M)=\left\{X\in\mathscr{M}_{n,1}(\mathbb{R})\mid MX=0\right\}\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(M)=\left\{MX\mid X\in\mathscr{M}_{n,1}(\mathbb{R})\right\}\) le noyau et l’image de \(M\).

On dit qu’une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbb{R})\) est involutive si \(M^2=I\) où \(I\) est la matrice identité d’ordre \(n\).

1. On considère une matrice involutive \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbb{R})\).

   1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(I-A)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(I+A)\) sont supplémentaires. En déduire que \(A\) est diagonalisable.

   2. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)\in[[-n,n]]\). Étudier la parité de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)\) en fonction de celle de \(n\).

   3. Que peut-on dire de plus sur les sous espaces \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(I-A)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(I+A)\) lorsque \(A\) est aussi symétrique ?

      (\(\mathscr{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) est muni du produit scalaire canonique).

2. Dans cette question, on considère deux matrices involutives \(A\) et \(B\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbb{R})\).

   1. Développer et simplifier les produits \((A+B)(A-B)\) et \((A-B)(A+B)\).

   2. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(AB-BA)\subset\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(A+B)\cap\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(A-B)\).

   3. Prouver que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(AB-BA)=\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(A+B)\cap\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(A-B)\).

3. On se place dans le cas où \(n=2\) et on considère les matrices \[M=\pmatrix{0&1\cr1&0},\quad N_1=\pmatrix{1&0\cr0&0}\quad\hbox{et}\quad N_2=\pmatrix{-1&-1\cr1&1}.\]

   1. Existe-t-il \(Z\in\mathscr{M}_2(\mathbb{R})\) qui soit solution de l’équation \(MZ-ZM=N_1\) ?

   2. On cherche maintenant à savoir s’il existe une matrice involutive \(A\) qui vérifie \(MA-AM=N_2\). Montrer que l’on a nécessairement \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\). En utilisant la question 2c déterminer l’ensemble des possibilités pour une telle matrice involutive \(A\).

   3. Si \(A\) et \(Z\) sont deux solutions de l’équation \(MU-UM=N_2\) d’inconnue \(U\in\mathscr{M}_2(\mathbb{R})\), que peut on dire de la matrice \(Z-A\) ? En déduire l’ensemble des solutions de l’équation \(MU-UM=N_2\).

[concours/ex8895] polytechnique, espci PC 2010 Déterminer les \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telles que telles que : \(A^2+A+I_2=\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&1\end{array}\right)\).

[concours/ex4663] escp courts 2004 Résoudre l’équation \(X^3=\left(\begin{array}{cc}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t& \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t\\ \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t&-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\end{array}\right)\).

[planches/ex4788] polytechnique, espci PC 2019 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Q})\) telle que \(A^3+2A+2I_n=0\). Montrer que 3 divise \(n\).