[concours/ex4271] centrale M 1990 Soit \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels de dimension finie, \(f\in\mathscr{L}(E)\), \(g\in\mathscr{L}(F)\). Montrer que, si \(f\) et \(g\) ont une valeur propre commune, alors il existe \(h\in\mathscr{L}(E,F)\), \(h\neq0\), tel que \(hf=gh\). Réciproque ?
[concours/ex4271]
[oraux/ex4672] hec S 2011
[oraux/ex4672]
Question de cours : Rappeler la définition du rang d’une matrice. Une matrice carrée et sa transposée ont-elles nécessairement le même rang ?
Dans cette question, \(A\) et \(B\) sont deux matrices carrées de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) (\(n\geqslant 1\)) qui ont au moins une valeur propre commune.
Démontrer qu’il existe un nombre réel \(\alpha\) et deux matrices colonnes \(X\), \(Y\) non nulles telles que \({}^tAX=\alpha X\) et \(BY=\alpha Y\).
En déduire qu’il existe une matrice carrée non nulle \(M\) telle que : \(MA=BM\).
Montrer que les deux matrices \(A=\left(\begin{array}{cc}1&2\\2&1\end{array}\right)\) et \(B=\left(\begin{array}{cc}3&1\\0&1\end{array}\right)\) ont une valeur propre commune et trouver une matrice non nulle \(M\) telle que : \(MA=BM\).
Dans cette question, \(a\) est un endomorphisme de \(\mathbf{C}^n\).
Soit \(Q\in\mathbf{C}[X]\). Montrer que, si \(z\) est un nombre complexe qui n’est pas une valeur propre de \(a\) et si le polynôme \(P=(X-z)Q\) est un polynôme annulateur de \(a\), \(Q\) est alors aussi un polynôme annulateur de \(a\).
Démontrer qu’il existe un polynôme annulateur de \(a\) sont les seules racines sont les valeurs propres de \(a\).
Dans cette question, on examine la réciproque de la propriété prouvée en \(2^o\) et on considère donc deux matrices carrées \(A\) et \(B\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) pour lesquelles il existe une matrice non nulle \(M\) telle que : \(MA=BM\).
Que peut-on dire des valeurs propres de \(A\) et de \(B\) lorsque \(M\) est inversible ?
Démontrer que, pour tout polynôme \(P\) de \(\mathbf{C}[X]\), on a : \(MP(A)=P(B)M\).
Démontrer, à l’aide de \(3^o\), que \(A\) et \(B\) ont nécessairement une valeur propre commune.
[concours/ex5923] centrale MP 2007 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \((A,B)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})^2\). On considère l’équation \((E)\) : \(AX=XB\), où l’inconnue \(X\) est dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).
[concours/ex5923]
On suppose que \((E)\) possède une solution non nulle \(Y\).
Montrer, pour tout \(P\in\mathbf{C}[X]\), que \(P(A)Y=YP(B)\).
Montrer que \(A\) et \(B\) ont une valeur propre commune.
On suppose que \(A\) et \(B\) ont une valeur propre commune.
Montrer : \(\forall(M,N)\in(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\setminus\{0\})^2\), \(\exists Q\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(MQN\neq0\).
Montrer que \((E)\) admet une solution non nulle.
[examen/ex0745] imt PSI 2023 Soient \(A\) et \(B\) deux matrices de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)\cap\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(B)=\varnothing\).
[examen/ex0745]
Montrer que \(\chi_A(B)\) est inversible.
On suppose désormais qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel que \(AM=MB\).
Montrer que, pour tout \(k\in\mathbf{N}\), \(A^kM=MB^k\).
Montrer que, pour tout \(P\in\mathbf{C}[X]\), \(P(A)M=MP(B)\).
Montrer que \(M\) est la matrice nulle.
Dans le cas général, que peut-on dire si l’on a \(M\) non nulle telle que \(AM=MB\) ?
[examen/ex0611] imt MP 2023 Soient \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) et \((E)\) l’équation \(AM=MB\).
[examen/ex0611]
On suppose que \((E)\) admet une solution \(M\neq0\).
Montrer que \(\forall P\in\mathbf{C}[X]\), \(P(A)M=MP(B)\). Montrer que \(A\) et \(B\) admettent une valeur propre commune.
Établir la réciproque.
[concours/ex9590] mines PSI 2006 Soient \(A\), \(B\), \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(AM=MB\), avec \(M\neq0\).
[concours/ex9590]
Montrer que pour tout \(P\in\mathbf{C}[X]\) on a \(P(A)M=MP(B)\).
Montrer que \(A\) et \(B\) ont une valeur propre en commun.
[planches/ex9748] mines MP 2023 Soient \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) défini par : \[\forall T\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C}),\quad u(T)=AT-TB.\]
[planches/ex9748]
Soit \(\alpha\in\mathbf{C}\) (resp. \(\beta\in\mathbf{C}\)) une valeur propre de \(A\) (resp. \(B\)). Montrer que \(\alpha-\beta\) est valeur propre de \(u\).
Soient \(\lambda\in\mathbf{C}\) une valeur propre de \(u\), et \(T\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) un vecteur propre associé.
Montrer que, pour tout polynôme \(P\in\mathbf{C}[X]\), \(P(A)T=TP(\lambda I_n+B)\).
Montrer qu’il existe \(\alpha\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)\) et \(\beta\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(B)\) telles que \(\lambda=\alpha-\beta\).
En déduire une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe \(T\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) non nulle telle que \(AT=TB\).
[planches/ex7328] ccinp PSI 2021
[planches/ex7328]
Énoncer le théorème de Cayley-Hamilton.
Soient \(A\), \(B\), \(C\), dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). On suppose que \(AC=CB\) et que \(C\neq0\). Montrer que, pour tout \(P\in\mathbf{C}[X]\), \(P(A)C=CP(B)\).
Montrer qu’un produit de matrices est inversible si et seulement si tous ses facteurs le sont. En déduire que \(A\) et \(B\) ont au moins une valeur propre commune.
Réciproquement, si \(A\) et \(B\) ont une valeur propre commune, montrer qu’il existe une matrice \(C\) non nulle telle que \(AC=CB\).
[concours/ex9646] polytechnique, ens cachan PSI 2008 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) diagonalisables et \(\Phi_{A,B}\) l’endomorphisme de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) tel que : \(\forall M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), \(\Phi_{A,B}(M)=AM+MB\).
[concours/ex9646]
Déterminer la matrice de \(\Phi_{A,B}\) dans la base \((E_{1,1},\ldots,E_{1,n},E_{2,1},\ldots,E_{2,n},\ldots,E_{n,n})\).
Montrer que si \(A\) est semblable à \(C\) alors \(\Phi_{C,B}\) est semblable à \(\Phi_{A,B}\).
Exprimer les valeurs propres de \(\Phi_{A,B}\) en fonction de celles de \(A\) et \(B\).
Montrer l’équivalence entre :
\(\exists M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\setminus\{0\}\), \(AM=MB\) ;
\(A\) et \(B\) ont une valeur propre commune.
[concours/ex5920] centrale MP 2007 Soient \((A,B)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) et \(f:X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\rightarrow AX-XB\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).
[concours/ex5920]
Soit \(\lambda\) (resp. \(\mu\)) une valeur propre de \(A\) (resp. \(B\)). Montrer que \(\lambda-\mu\) est valeur propre de \(f\).
Réciproquement, soit \(\alpha\) une valeur propre de \(f\). Montrer qu’il existe une valeur propre \(\lambda\) de \(A\) et une valeur propre \(\mu\) de \(B\) telles que \(\alpha=\lambda-\mu\).
Donner une condition nécessaire et suffisante simple portant sur \(A\) et \(B\) pour qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\setminus\{0\}\) telle que \(AM-MB=0\).
[oraux/ex5422] mines PSI 2012 Soient \(A,B\) dans \({\cal M}_n(\mathbf{C})\). Montrer que \(A\) et \(B\) ont une valeur propre commune si et seulement s’il existe \(U\in {\cal M}_n(\mathbf{C})\) non nulle telle que \(AU=UB\).
[oraux/ex5422]
[oraux/ex7824] centrale PSI 2016 On considère les matrices \(A=\pmatrix{1&2&3\cr2&1&3\cr4&2&0}\) et \(B=\pmatrix{0&0&1\cr1&0&1\cr0&1&-1}\).
[oraux/ex7824]
Étudier la diagonalisabilité de \(A\) et \(B\).
Soit \(C=\{M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R}),\ AM=MB\}\). Soit \(f\) la fonction qui prend en argument une liste de 9 éléments et dont le code est :
def f(x): X=np.array(x) X=X.reshape((3,3)) Y=A.dot(X)-X.dot(B) return(Y.reshape(9))
Décrire ce que fait la fonction \(f\). En déduire que l’ensemble \(C\) est une droite vectorielle engendrée par une matrice de la forme \(U{}^tV\) où \(U\), \(V\in\mathscr{M}_{3,1}(\mathbf{R})\).
On se place maintenant dans le cas \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). On suppose \(M\in C\). Montrer que \(\forall k\in\mathbf{N}\), \(A^kM=MB^k\). Déterminer \(\chi_B(A)M\).
On suppose dans cette question que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)\cap\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(B)=\varnothing\) (il s’agit ici de spectre complexe). Déterminer \(C\).
[oraux/ex7646] polytechnique MP 2015 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Pour \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), on note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(M)\) l’ensemble des valeurs propres complexes de \(M\). Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que : \(\forall\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits(\lambda)<0\) et \(\forall\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(B)\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits(\lambda)\leqslant 0\). Soit \(C\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Montrer que l’équation \(C=XA+AX\) possède une et une seule solution.
[oraux/ex7646]
[oraux/ex8619] ccp PSI 2016
[oraux/ex8619]
Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) ayant au moins une valeur propre commune.
Montrer qu’il existe \(\alpha\in\mathbf{C}\) et \(X\), \(Y\in\mathbf{C}^n\) non nuls, tels que \({}^tAX=\alpha X\) et \(BY=\alpha Y\). En déduire qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) non nulle telle que \(MA=BM\).
Trouver \(M\) pour \(A=\pmatrix{1&2\cr2&1}\) et \(B=\pmatrix{3&1\cr0&1}\).
On s’intéresse maintenant à la réciproque. Soient \(A\), \(B\), \(M\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(MA=BM\).
Montrer que si \(M\) est inversible alors \(A\) et \(B\) ont une valeur propre commune.
Montrer que pour tout \(P\in\mathbf{C}[X]\), on a \(MP(A)=P(B)M\).
On suppose \(M\neq0\). Montrer que \(A\) et \(B\) ont au moins une valeur propre commune.
[oraux/ex7675] mines PC 2015 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) diagonalisable telle que : \(\forall(\lambda,\mu)\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)^2\), \(\lambda+\mu\neq0\). Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(AM+MA=0\). Montrer que \(M=0\).
[oraux/ex7675]
[oraux/ex7808] centrale MP 2016 Soient \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) et \[u:\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\rightarrow\mathscr{M}_n(\mathbf{C}),\qquad X\mapsto AX-XB.\]
[oraux/ex7808]
Montrer que \(u\) est un endomorphisme de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).
Soient \(\alpha\) une valeur propre de \(A\) et \(\beta\) une valeur propre de \(B\). Montrer que \(\alpha-\beta\) est une valeur propre de \(u\).
Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe \(X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\setminus\{0\}\) telle que \(AX=XB\).
[oraux/ex7559] polytechnique, espci PC 2014 Soient \(E\) un \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel de dimension finie, \(f\) et \(g\) dans \(\mathscr{L}(E)\). On suppose que \(f\) et \(g\) ont une valeur propre commune. Montrer qu’il existe \(\phi\in\mathscr{L}(E)\) de rang 1 tel que \(\phi\mathbin{\circ} f=g\mathbin{\circ}\phi\).
[oraux/ex7559]
[planches/ex5698] ccinp PC 2019 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) non nulle et \(\varphi:X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\longmapsto X+\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(X)A\).
[planches/ex5698]
Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits\varphi\subset\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(A)\) puis que \(\varphi\) est bijective si et seulement si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)\neq-1\).
Déterminer les valeurs propres de \(\varphi\).
[concours/ex0895] centrale MP 1997 Soit \(A\) une matrice carrée réelle. On pose, pour toute matrice carrée réelle \(X\) de même taille : \[\Phi(X)=X+\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(X)A\,.\] Déterminer les éléments propres de \(\Phi\). Résoudre l’équation \(\Phi(X)=B\).
[concours/ex0895]
[concours/ex9611] centrale PSI 2006 Soient \(E=\mathscr{M}_{2p}(\mathbf{R})\) et \(B=(B_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant 2p}\) où \(B_{i,j}=1\) si \(i=j\) ou si \(i+j=2p+1\), et 0 sinon. Soit \(\psi\) définie sur \(E\) par : \(\forall A\in E\), \(\psi(A)=A+\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)B\).
[concours/ex9611]
Montrer que \(\psi\in\mathscr{L}(E)\). Trouver \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits\psi\).
Soit \(M\in E\). Résoudre \(\psi(X)=M\), d’inconnue \(X\in E\).
Trouver les vecteurs propres et valeurs propres de \(\psi\).
[concours/ex9795] polytechnique PC 2009
[concours/ex9795]
Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^2=-I_n\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A=0\) et que \(n\) est pair.
On définit une loi de composition externe \(\bullet\) faisant agir \(\mathbf{C}\) sur \(\mathbf{R}^n\) par : \(\forall\ell=a+ib\in\mathbf{C}\) avec \((a,b)\in\mathbf{R}^2\), \(\forall u\in\mathbf{R}^n\), \(\ell\bullet u=au+bAu\). Montrer que \((\mathbf{R}^n,{+},{\bullet})\) est un \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel.
Soit \(n\) pair. Trouver une matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^2=-I_n\).
[planches/ex9324] ens PSI 2023 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension \(d\in\mathbf{N}^*\) et \(f\in \mathscr{L}(E)\) telle que \(f\mathbin{\circ} f=-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\).
[planches/ex9324]
Donner un exemple d’application \(f\) vérifiant les hypothèses en dimension 2.
Montrer que \(f\) n’a pas de valeur propre réelle. Montrer que \(E\) est de dimension paire.
Montrer qu’il existe \((e_1,\ldots,e_p)\) telle que \((e_1,f(e_1),\ldots,e_p,f(e_p))\) soit une base de \(E\) avec \(d=2p\). Donner la matrice de \(f\) dans cette base.
[planches/ex6674] mines MP 2021 Soit \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension finie. Soit \(f\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(f^2=-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\).
[planches/ex6674]
Trouver un exemple d’un tel endomorphisme en dimension 2.
Montrer que \(f\) n’a pas de valeur propre réelle et que la dimension de \(E\) est paire.
On note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits E=2n\). Montrer qu’il existe une base de \(E\) de la forme \((e_1,f(e_1),\ldots,e_n,f(e_n))\).
Écrire la matrice de \(f\) dans cette base. Énoncer une version matricielle du résultat démontré dans cet exercice.
[oraux/ex7348] mines PC 2016 Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) telle que \[M^2=\pmatrix{0&0&0\cr1&0&0\cr0&1&0}\ ?\]
[oraux/ex7348]
[oraux/ex7737] polytechnique, ens cachan PSI 2016 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel et \(f\) un endomorphisme de \(E\) tel que \(f^2=-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_E\).
[oraux/ex7737]
Donner un exemple en dimension 2.
Montrer que les valeurs propres de \(f\) sont imaginaires pures. En déduire que la dimension de \(E\) est paire.
Montrer que, pour tout \(x\in E\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(x,f(x))\) est stable par \(f\).
On pose \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits(E)=2n\). Montrer l’existence d’une famille \((e_1,\ldots,e_n)\in E^n\) telle que \((e_1,f(e_1),\ldots,e_n,f(e_n))\) soit une base de \(E\).
Écrire la matrice de \(f\) dans cette base.
[concours/ex1947] centrale MP 1999 Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe une matrice carrée réelle \(A\) telle que \(A^2=-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\).
[concours/ex1947]
Montrer qu’une telle matrice est semblable à \(\left(\begin{array}{cc} 0&-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_p\\\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_p&0\end{array}\right)\).
[concours/ex3141] mines M 1993 Résoudre dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) l’équation \(X^2=-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_n\).
[concours/ex3141]
[concours/ex0995] ccp MP 1997 Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) sur un corps \(K\). Soit \(f\) un endomorphisme nilpotent de \(E\).
[concours/ex0995]
Montrer que \(f^n=0\).
Montrer que \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}-f\) est inversible.
Existe-t-il une matrice carrée \(A\) telle que \[A^2=\left(\begin{array}{ccccc} 0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\ddots&\vdots\\ \vdots&&\ddots&\ddots&0\\ \vdots&&&\ddots&1\\ 0&\cdots&\cdots&\cdots&0 \end{array}\right)\ ?\]
[concours/ex5807] mines PC 2007 Soient \(n\geqslant 2\) et \(M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) où \(a_{i,i+1}=1\) pour \(i\in\{1,\ldots,n-1\}\), les autres coefficients étant nuls.
[concours/ex5807]
La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?
Existe-t-il \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) vérifiant \(B^2=A\) ?
[ev.algebre/ex0289] Soit \(u\in\mathscr{L}(\mathbf{R}^3)\) tel que \(u\neq0\) et \(u^2=0\). Montrer qu’il existe une base de \(\mathbf{R}^3\) relativement à laquelle la matrice de \(u\) est \[\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{array}\right).\]
[ev.algebre/ex0289]
[examen/ex0743] ccinp PSI 2023 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) non nulle vérifiant \(A^3+9A=0\).
[examen/ex0743]
Montrer que le spectre complexe de \(A\) est inclus dans \(\{0,3i,-3i\}\).
La matrice \(A\) est-elle diagonalisable dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) ? dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) ?
Montrer que si \(n\) est impair alors \(A\) n’est pas inversible.
Montrer que \(A\) ne peut pas être une matrice symétrique.
[oraux/ex5927] escp S 2013 Soit \(f\) un endomorphisme non nul d’un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension \(3\), tel que : \[f^3+f=0.\] On admet que \(f\) possède au moins une valeur propre réelle.
[oraux/ex5927]
Montrer que \(E=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f\oplus\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2+id)\).
Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2 +\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}) \geqslant 1\). Soit \(x \in \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits (f^2 + \mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\), \(x\neq 0\) ; montrer que \((x,f(x))\) est une famille libre de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2 + \mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\).
Déterminer les valeurs propres de \(f\) et les dimensions des sous-espaces propres associés. L’endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable ?
Montrer qu’il existe une base de \(E\) dans laquelle la matrice de \(f\) est : \[A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\ 0&0&-1\\ 0&1&0\end{array}\right).\]
Résoudre l’équation \(u^2 = f\), où l’inconnue \(u\) est un endomorphisme de \(E\).
[concours/ex9890] ccp PSI 2009 Soit \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(A\neq0\) et \(A^3+A=0\). Les matrices \(A^2\) et \(A\) sont-elles diagonalisables dans \(\mathbf{C}\) ? dans \(\mathbf{R}\) ? Montrer que \(A\) est semblable à \(\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{array}\right)\).
[concours/ex9890]
[planches/ex5153] mines PC 2019 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel non réduit à \(\{0\}\) et \(f\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(f^3+f=0\).
[planches/ex5153]
Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f\oplus\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits f=E\).
Montrer que \(f\) est un automorphisme si et seulement si \(f^2+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}=0\).
On suppose dans la suite que \(f^2+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}=0\).
Soit \(x\in E\) avec \(x\neq0\). Montrer que \((x,f(x))\) est libre.
Soit \((x,y)\in E^2\). On suppose que \((x,f(x),y)\) est libre. Montrer que \((x,f(x),y,f(y))\) est libre.
Si \(E\) est de dimension finie, que peut-on dire de sa dimension ?
[concours/ex1948] centrale PC 1999 Soit \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) non nulle telle que \(A^3=-A\). Montrer que \(A\) est semblable à \[\left(\begin{array}{ccc} 0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{array}\right).\]
[concours/ex1948]
[planches/ex3338] polytechnique, espci PC 2018 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(A^3=-A\) et \(B^3=-B\). On suppose que \(A\) et \(B\) ne sont pas nilpotentes. Montrer qu’elles sont semblables.
[planches/ex3338]
[concours/ex8411] centrale 2004 Résoudre dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) : \(X^3=-X\).
[concours/ex8411]
[examen/ex0410] centrale MP 2023 On se place dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).
[examen/ex0410]
Montrer que toute matrice est trigonalisable sur \(\mathbf{C}\).
Soient \(\alpha_1\), … , \(\alpha_n\in\mathbf{C}\) et \(D=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\). Montrer qu’il existe un polynôme \(f\) tel que pour tout \(i\in[\![1,n]\!]\), \(f(\alpha_i)^2=\alpha_i\). En déduire que \(f(D)^2=D\).
On considère la suite \((c_k)_k\) définie par \(c_0=1\) et, pour tout \(k\in\mathbf{N}\), \(c_{k+1}=\displaystyle\sum\limits_{i=0}^kc_ic_{k-i}\) et le polynôme \(\varphi=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1}c_kX^{k+1}\).
Déterminer le reste de la division euclidienne de \(\varphi^2\) par \(X^n\).
Trouver un polynôme \(g\) tel que, pour toute matrice nilpotente \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), on ait \(g(N)^2=I_n+N\).
Soit \(A\) une matrice inversible. Montrer qu’il existe \(R\in\mathbf{C}[A]\) telle que \(R^2=A\).
[oraux/ex7065] polytechnique, espci PC 2014 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) nilpotente. Montrer l’existence de \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(B^2=I_n+A\).
[oraux/ex7065]
[concours/ex6094] centrale PC 2007 Soient \(n\geqslant 2\) et \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).
[concours/ex6094]
On suppose \(A\) nilpotente avec \(A^n=0\) et \(A^{n-1}\neq0\). Montrer que l’équation \(A=X^2\) n’a pas de solution dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).
On suppose \(A\) diagonalisable avec \(n\) valeurs propres distinctes. résoudre \(A=X^2\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).
[oraux/ex7114] mines PC 2014 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). Trouver les \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(M+(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M)A=B\).
[oraux/ex7114]
[planches/ex4899] mines MP 2019
[planches/ex4899]
Soit \(f\in\mathscr{L}(\mathbf{R}^3)\setminus\{0\}\) telle que \(f^3+f=0\). Montrer qu’il existe une base de \(\mathbf{R}^3\) dans laquelle la matrice de \(f\) est \(\pmatrix{0&0&0\cr0&0&-1\cr0&1&0}\).
Si \(n\in\mathbf{N}^*\), que dire de \(f\in\mathscr{L}(\mathbf{R}^n)\) tel que \(f^3+f=0\) ?
[oraux/ex7458] centrale MP 2013
[oraux/ex7458]
Expliciter un polynôme \(P_n\in\mathbf{R}_n[X]\) tel que \(\sqrt{1+x}=P_n(x)+o(x^n)\) au voisinage de 0. Montrer que \(X^{n+1}\) divise \(1+X-P_n^2\).
Soit \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) nilpotente. Montrer que la matrice \(A=I_n+N\) possède une racine carrée \(B\) dans \(\mathbf{C}[A]\), c’est-à-dire telle que \(B^2=A\).
Soit \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) ayant une unique valeur propre. Montrer qu’il existe \(B\in\mathbf{C}[A]\) ayant une seule valeur propre et vérifiant \(B^2=A\).
Soit \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\). Montrer qu’il existe \(B\in\mathbf{C}[A]\) telle que \(B^2=A\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{card}}{\hbox{card}}{\mathrm{card}}{\mathrm{card}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A))=\mathop{\mathchoice{\hbox{card}}{\hbox{card}}{\mathrm{card}}{\mathrm{card}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(B))\).
Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) ayant une unique valeur propre et telle que \(A\overline A=I_n\). On prend \(B\) donnée par la question précédente. Montrer que \(A=B\overline B^{-1}\).
[oraux/ex6048] escp S 2014 Dans tout cet exercice, \(n\) est un entier supérieur ou égal à \(2\). On note : \[{\cal P}_n(\mathbf{R})= \{ A\in \mathscr{M}_n(\mathbf{R}) / \forall p\in\mathbf{N}^*,\ \exists B\in \mathscr{M}_n(\mathbf{R}), \hbox{ tel que } A=B^p\}\]
[oraux/ex6048]
Soit \(A=\pmatrix{ 1 & 0 & 2 \cr 0 & 2 & 4\cr 0 & 0 & 4}\).
Montrer que \(A\) est diagonalisable.
Montrer que \(A \in {\cal P}_3(\mathbf{R})\).
Soit \(A=\pmatrix{ 1 & 0\cr 0 & -2}\). Montrer que \(A \not\in {\cal P}_2(\mathbf{R})\).
Soit \(N\in \mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) non nulle vérifiant \(N^n=0\). Montrer que \(N\not\in {\cal P}_n(\mathbf{R})\).
Dans cette question \(N\) est une matrice non nulle, telle qu’il existe \(k\in \mathbf{N}^*\) tel que \(N^k=0\) . On pose \(A= I_n+N\).
Déterminer les valeurs propres de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?
Soit \(V\) un polynôme de \(\mathbf{R}[X]\). On suppose qu’au voisinage de \(0\), on a : \(V(x)= o(x^q)\), où \(q\in\mathbf{N}\).
Montrer qu’il existe un polynôme \(Q\) tel que \(V(X)= X^q Q(X)\).
Soit \(p\in \mathbf{N}^*\). Montrer que pour tout \(q\in \mathbf{N}^*\), il existe un polynôme \(U_q\in \mathbf{R}[X]\) tel qu’au voisinage de \(0\) on a : \(1+x = (U_q(x))^p+o(x^q)\).
(On pourra utiliser le développement limité de \((1+x)^\alpha\)).
En déduire que \(I_n+N\in {\cal P}_n(\mathbf{R})\).
[oraux/ex7317] polytechnique, espci PC 2016
[oraux/ex7317]
Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). Montrer que le spectre de \(A\) est égal à \(\{1\}\) si et seulement si \(A-I_n\) est nilpotente.
Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(A-I_n\) est nilpotente. Montrer qu’il existe \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) dont le spectre est égal à \(\{1\}\) tel que \(B^2=A\).
Soit \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) (resp. \(\mathscr{M}_n(\mathbf{Q})\)) nilpotente. Montrer qu’il existe \(N'\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) (resp. \(\mathscr{M}_n(\mathbf{Q})\)) nilpotente telle que \((I_n+N')^2=I_n+N\).
[examen/ex0148] mines PC 2023
[examen/ex0148]
Déterminer une suite \((a_n)_{n\geqslant 0}\) telle qu’on ait \(\sqrt{1+x}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{+\infty}a_kx^k\) au voisinage de \(0\). Préciser le rayon de convergence et le domaine de validité de l’égalité ci-dessus.
Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) une matrice nilpotente. Prouver que \(\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{+\infty}a_kA^k=I_n+A\).
Pour \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), quelconque, l’équation \(X^2=B\) a-t-elle toujours des solutions dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) ?
[concours/ex8740] ensam PSI 2008 Soit \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). On suppose que \(N\) est nilpotente et commute avec sa transposée. Montrer que \(N\) est nulle.
[concours/ex8740]
[oraux/ex6956] mines PC 2013 Soient \((n,p)\in\mathbf{N}^2\) avec \(n\geqslant 2\) et \(p\geqslant 2\), \(M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) où \(m_{i,j}=1\) si \(j=i+1\), les autres coefficients étant nuls. Existe-t-il \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel que \(A^p=N\) ?
[oraux/ex6956]
[concours/ex6714] escp S 2008 L’équation matricielle \(X^2=\left(\begin{array}{cc}0&1\\ 0&0\end{array}\right)\) a-t-elle des solutions dans \({\cal M}_2(\mathbb{C})\) ? Donner un exemple non trivial d’une matrice nilpotente telle que l’équation matricielle \(X^2=A\) possède des solutions.
[concours/ex6714]
[planches/ex8938] ccinp PSI 2022 Soient \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) et \(P\in\mathbf{R}[X]\) un polynôme annulateur de \(A\).
[planches/ex8938]
Montrer que les valeurs propres de \(A\) sont des racines de \(P\).
Peut-on avoir à la fois \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\) et \(A^2+A^T=I_3\) ?
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