Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex1947] centrale MP 1999 Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe une matrice carrée réelle \(A\) telle que \(A^2=-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\).

Montrer qu’une telle matrice est semblable à \(\left(\begin{array}{cc} 0&-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_p\\\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_p&0\end{array}\right)\).

[concours/ex5807] mines PC 2007 Soient \(n\geqslant 2\) et \(M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) où \(a_{i,i+1}=1\) pour \(i\in\{1,\ldots,n-1\}\), les autres coefficients étant nuls.

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Existe-t-il \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) vérifiant \(B^2=A\) ?

[oraux/ex3584] polytechnique MP 2011 Résoudre dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) : \(A^2=-I_n\).

[concours/ex0995] ccp MP 1997 Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) sur un corps \(K\). Soit \(f\) un endomorphisme nilpotent de \(E\).

1. Montrer que \(f^n=0\).

2. Montrer que \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}-f\) est inversible.

3. Existe-t-il une matrice carrée \(A\) telle que \[A^2=\left(\begin{array}{ccccc} 0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\ddots&\vdots\\ \vdots&&\ddots&\ddots&0\\ \vdots&&&\ddots&1\\ 0&\cdots&\cdots&\cdots&0 \end{array}\right)\ ?\]

[examen/ex0743] ccinp PSI 2023 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) non nulle vérifiant \(A^3+9A=0\).

1. Montrer que le spectre complexe de \(A\) est inclus dans \(\{0,3i,-3i\}\).

2. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) ? dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) ?

3. Montrer que si \(n\) est impair alors \(A\) n’est pas inversible.

4. Montrer que \(A\) ne peut pas être une matrice symétrique.