Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex6066] centrale PSI 2007 On se place sur \(K=\mathbf{R}\) ou \(\mathbf{C}\). On s’intéresse à l’équation matricielle \(AX-XA=A\) où \(A\), \(X\) sont dans \(\mathscr{M}_n(K)\).

1. Résoudre l’équation lorsque \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}\right)\).

2. On revient au cas général. Si \(AM-MA=A\) que peut-on dire de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A\) ? Calculer \(A^pM-MA^p\) pour tout \(p\in\mathbf{N}\). Que dire des polynômes annulateurs de \(A\) ?

3. On suppose \(A\) nilpotente d’indice \(n\) et on note \(f\) l’endomorphisme canoniquement associé.

   Montrer qu’il existe \(x\in K^n\) tel que \((x,f(x),\ldots,f^{n-1}(x))\) soit une base de \(K^n\). En déduire les endomorphismes \(g\) tels que \(f\mathbin{\circ} g-g\mathbin{\circ} f=f\).