Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex8598] tpe MP 2006 Résoudre dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) l’équation \(X^2+X=\left(\begin{array}{ccc}6&0&0\\0&2&-2\\0&0&0\end{array}\right)\).

[concours/ex4667] escp courts 2004 Résoudre \(X^2=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\ 1&0&0\\ 0&0&0\end{array}\right)\).

[concours/ex6557] mines MP 2006 Trouver les \(M\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \({}^tM=M^2\) et que \(M\) n’ait aucune valeur propre réelle.

[examen/ex0740] ccinp PSI 2023 Pour \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), on cherche les \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(B^2=A\) \((*)\).

1. 1. Montrer que si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)<0\), \((*)\) n’a pas de solution.

   2. En déduire une condition nécessaire pour que \((*)\) possède une solution.

2. 1. Calculer le déterminant de \(A=\pmatrix{2+a&2&1+a\cr3-a&3&3-a\cr-2&-2&-1}\). En déduire une condition nécessaire portant sur \(a\) pour que \((*)\) possède une solution. On suppose par la suite que \(a\geqslant 0\).

   2. Calculer \(\chi_A\) et déterminer les éléments propres de \(A\). On distinguera les cas \(a=1\) et \(a=3\).

3. Montrer qu’il existe \(P\) inversible et \(D\) diagonale telles que \(A=PDP^{-1}\). On suppose par la suite que \(a\not\in\{1;3\}\).

   1. On suppose qu’il existe \(M\) telle que \(M^2=D\). Montrer que \(MD=DM\).

   2. En déduire toutes les matrices \(M\) telles que \(M^2=D\).

   3. Montrer que \(M^2=D\ \Leftrightarrow\ (PMP^{-1})^2=A\).

   4. En déduire toutes les matrices \(B\) telles que \(B^2=A\).

[oraux/ex7597] centrale MP 2014

1. Soit \(P=X-X^2\in\mathbf{R}[X]\). Établir l’existence de \(Q\in\mathbf{R}[X]\) tel que \(P(Q(X))-X\) soit divisible par \(X^4\).

2. Soit \(P\in\mathbf{R}[X]\) tel que \(P(0)=0\) et \(P'(0)\neq0\).

   1. Établir l’existence d’intervalles ouverts \(I\) et \(J\) contenant 0 tels que \(P\) induise un \(\mathscr{C}^\infty\)-difféomorphisme de \(I\) sur \(J\).

   2. Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Établir l’existence de \(Q\in\mathbf{R}[X]\) tel que \(X^n\) divise \(P(Q(X))-X\). On admet dans la suite que ce résultat est encore vrai sur \(\mathbf{C}\).

3. Soient \(d\in\mathbf{N}^*\), \(A\in\mathscr{M}_d(\mathbf{C})\) et \(P\in\mathbf{C}[X]\) admettant une racine simple. Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_d(\mathbf{C})\) telle que \(P(M)=A\).

4. Soit \(P\in\mathbf{C}[X]\) de degré \({}\geqslant 2\) ne possédant pas de racines simples sur \(\mathbf{C}\). Soit \(d\in\mathbf{N}\) avec \(d\geqslant 2\).

   1. Trouver \(A\in\mathscr{M}_d(\mathbf{C})\) telle que \(A^{d-1}\neq0\) et \(A^d=0\).

   2. Montrer que l’équation \(P(M)=A\) n’a pas de solution dans \(\mathscr{M}_d(\mathbf{C})\).