Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex1988] mines MP 2017 Soit \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\). On suppose \[A(A^2-I_n)(A^{-2}-I_n)^2=0.\]

1. La matrice \(A\) est-elle forcément diagonalisable ? et si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^n)=n\) ?

2. On suppose \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^2)\). Que peut-on dire ?

[planches/ex2659] ccp MP 2017 Soit \(P=X^5+X+1\).

1. Montrer que \(P\) admet une unique racine réelle et que celle-ci est strictement négative.

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_{15}(\mathbf{R})\) telle que \(A^5+A+I_{15}=0\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)<0\).

[concours/ex9956] mines MP 2010 Soit \(p\) dans \(\mathbf{N}^*\). Trouver les \(M\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que : \(M^{p+2}=M\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=n\).

[concours/ex1800] mines MP 1999 Soit \(A=\left(\begin{array}{cccc} 0&1&0&0\\ -1&0&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{array}\right)\). Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \(n\geqslant 2\), résoudre \(X^n=A\) dans \(\mathscr{M}_4(\mathbf{C})\), puis dans \(\mathscr{M}_4(\mathbf{R})\).

[planches/ex3409] mines MP 2018 Résoudre l’équation \(X^2-2X=A\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\), où \(A=\pmatrix{1&2\cr2&1}\).