Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex9795] polytechnique PC 2009

1. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^2=-I_n\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A=0\) et que \(n\) est pair.

2. On définit une loi de composition externe \(\bullet\) faisant agir \(\mathbf{C}\) sur \(\mathbf{R}^n\) par : \(\forall\ell=a+ib\in\mathbf{C}\) avec \((a,b)\in\mathbf{R}^2\), \(\forall u\in\mathbf{R}^n\), \(\ell\bullet u=au+bAu\). Montrer que \((\mathbf{R}^n,{+},{\bullet})\) est un \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel.

3. Soit \(n\) pair. Trouver une matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^2=-I_n\).

[concours/ex1928] centrale MP 1999 Résoudre \(A^2=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}\right)\).

[examen/ex0126] mines PC 2023 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension finie et \(f\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(f^2=-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\).

1. Donner un exemple de tel endomorphisme \(f\) en dimension \(2\).

2. Montrer que les valeurs propres complexes d’une matrice associée à \(f\) sont des imaginaires purs. En déduire que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits E\) est paire.

3. Soit \(x\in E\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(x,f(x))\) est stable par \(f\).

4. On pose \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits E=2n\). Montrer qu’il existe une famille \((e_1,\ldots,e_n)\in E^n\) telle que \((e_1,f(e_1),e_2,f(e_2),\ldots,e_n,f(e_n))\) soit une base de \(E\).

5. Donner la matrice de \(f\) dans une telle base.

[oraux/ex7737] polytechnique, ens cachan PSI 2016 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel et \(f\) un endomorphisme de \(E\) tel que \(f^2=-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_E\).

1. Donner un exemple en dimension 2.

2. Montrer que les valeurs propres de \(f\) sont imaginaires pures. En déduire que la dimension de \(E\) est paire.

3. Montrer que, pour tout \(x\in E\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(x,f(x))\) est stable par \(f\).

4. On pose \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits(E)=2n\). Montrer l’existence d’une famille \((e_1,\ldots,e_n)\in E^n\) telle que \((e_1,f(e_1),\ldots,e_n,f(e_n))\) soit une base de \(E\).

5. Écrire la matrice de \(f\) dans cette base.

[planches/ex9324] ens PSI 2023 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension \(d\in\mathbf{N}^*\) et \(f\in \mathscr{L}(E)\) telle que \(f\mathbin{\circ} f=-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\).

1. Donner un exemple d’application \(f\) vérifiant les hypothèses en dimension 2.

2. Montrer que \(f\) n’a pas de valeur propre réelle. Montrer que \(E\) est de dimension paire.

3. Montrer qu’il existe \((e_1,\ldots,e_p)\) telle que \((e_1,f(e_1),\ldots,e_p,f(e_p))\) soit une base de \(E\) avec \(d=2p\). Donner la matrice de \(f\) dans cette base.