Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex6043] escp S 2014 Dans tout l’exercice \(n\) est un entier naturel supérieur ou égal à \(2\).

Soit \(A \in \mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). On dit qu’une matrice \(R \in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) est une racine carrée de \(A\) lorsque \(R^2 = A\).

1. Déterminer toutes les racines carrées de la matrice nulle de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

2. Dans cette question, on s’intéresse aux racines carrées \(R\in \mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de la matrice nulle de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

   Soit \(R\) une telle matrice et \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^n\) de matrice \(R\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^n\) ; enfin, soit \(r\) le rang de \(f\).

   1. Comparer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(f)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f)\) et montrer que \(r \leqslant n/2\).

      On suppose \(r \geqslant 1\) ; on note \(( e_1,\ldots,e_r,e_{r+1},\ldots,e_{n-r})\) une base de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f)\) telle que \(( e_1,\ldots,e_r)\) soit une base de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(f)\).

   2. Justifier que, pour \(i \in [[1,r]]\), il existe un vecteur \(u_i\) de \(\mathbf{R}^n\) tel que \(f(u_i) = e_i\). Montrer qu’alors la famille \(\mathscr{B}=(e_1,\ldots,e_{n-r},u_1,\ldots,u_r)\) est une base de \(\mathbf{R}^n\) et expliciter la matrice \(M_r\) de \(f\) dans cette base.

   3. En déduire une expression de toutes les matrices de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) qui sont racines carrées de la matrice nulle de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

      Expliciter dans le cas \(n = 4\).

3. Dans cette question, on s’intéresse aux racines carrées \(R \in \mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de la matrice identité \(I_n \in \mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

   1. Déterminer les matrices diagonalisables \(R \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\) qui sont racines carrées de \(I_n\).

      Soit \(R\) une racine carrée de \(I_n\); on note encore \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^n\) de matrice \(R\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^n\).

   2. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f+id) \cap \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-id) = \{ 0 \}\).

   3. Déterminer deux polynômes \(P\) et \(Q\) de \(\mathbf{R}[X]\) tels que : \[P(X)(X+1)+Q(X)(X-1) = 1\] En déduire que \(\mathbf{R}^n = \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f+id) \oplus \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-id)\).

   4. Justifier que \(f\) est diagonalisable et en déduire toutes les solutions \(R\) cherchées.

[oraux/ex7515] petites mines PSI 2013 Trouver les \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=3\) et \(M^5=M^2\).

[concours/ex8772] polytechnique MP 2009 Trouver les \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(A^3+A^2=2I_n\).

[oraux/ex6167] escp S 2015 Soit \(n \in \mathbf{N}\), tel que \(n \geqslant 2\), et \(g\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^n\) dont la matrice \(A\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^n\) a tous ses coefficients égaux à \(1\).

On note \(I_n\) la matrice identité de \({\cal M}_n(\mathbf{R})\).

On considère l’équation \((E)\): \(M^2 + M = A\), d’inconnue \(M \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\), et on note \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^n\) de matrice \(M\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^n\).

1. 1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(g\). L’endomorphisme \(g\) est-il diagonalisable ?

   2. Montrer que \(\mathbf{R}^n = \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(g) \oplus \mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(g)\).

2. Dans cette question, on suppose \(n=2\).

   1. Montrer que, si \(M\) est solution de \((E)\), alors soit \(M\), soit \(M+I_2\) n’est pas inversible.

   2. Dans cette question, on suppose \(M\) non inversible. Montrer que \(f\) et \(g\) ont même image et même noyau.

      En déduire qu’il existe \(\lambda \in \mathbf{R}\) tel que \(M = \lambda\,A\).

   3. Résoudre l’équation \((E)\).

3. Dans le cas \(n>2\), montrer qu’il y a des solutions \(M\) de \((E)\) telles que ni \(f\) ni \(f+ id\) n’ait même noyau et même image que \(g\).

[oraux/ex7183] polytechnique, espci PC 2015 Déterminer les \(n\in\mathbf{N}^*\) pour lesquels il existe \((A,B)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})^2\) tel que \((AB-BA)^2=I_n\).