Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex9548] centrale MP 2005

1. Diagonaliser \(M=\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&1\\0&0&0&2\\0&0&0&3\\1&2&3&0\end{array} \right)\).

2. Trouver deux matrices \(A\) et \(B\) telles que \(\forall n\geqslant 1\), \(M^n=14^{n/2}(A+(-1)^nB)\).

3. Déterminer le commutant de \(M\) et sa dimension. En déduire les solutions de l’équation \(X^2=M\).

[planches/ex6070] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2021 Soit \(p\) un nombre premier.

1. Déterminer les matrices \(A\) de \(\mathscr{M}_p(\mathbf{C})\) telle que \(A^p=I_p\).

2. Déterminer les matrices \(A\) de \(\mathscr{M}_p(\mathbf{Q})\) telle que \(A^p=I_p\).

[oraux/ex7478] centrale PC 2013 Soient \(P_1=X^3-12X-12\) et \(P_2=X^3+12X-12\).

1. Trouver \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(P_1(M)=0\). La matrice \(M\) est-elle diagonalisable ?

2. Trouver les \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(P_2(M)=0\) avec \(M\not\in\mathbf{R} I_n\).

3. On cherche les racines de \(P_2\). On pose \(z=u+v\) avec \((u,v)\in\mathbf{C}^2\) tel que \(u^3+v^3=12\), \(uv=-4\). Déterminer les racines de \(P_2\) en fonction de \(\sqrt[3]2\) et \(j\).

[concours/ex9728] centrale MP 2008 Soit \(A\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) admettant deux valeurs propres distinctes \(\lambda\) et \(\mu\). Trouver un polynôme \(P\) de \(\mathbf{C}[X]\) tel que \(e^A=P(A)\).

[concours/ex0919] centrale MP 1997 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&5&4\\0&0&5\end{array}\right)\). Déterminer les plans stables de \(A\). Résoudre \(X^2=A\).