Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex4604] escp S 2011 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2\end{array}\right)\) et \(J=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)\).

On note respectivement \(a\) et \(j\) les endomorphismes de \(\mathbf{R}^3\) canoniquement associés aux matrices \(A\) et \(J\).

1. 1. Calculer \(J^n\) pour tout \(n\) de \(\mathbf{N}\).

   2. En déduire que \(A^n= I +\displaystyle{4^n-1\over3} J\), où \(I\) désigne la matrice identité d’ordre \(3\).

2. Montrer que \(a\) admet deux valeurs propres réelles \(\lambda\) et \(\mu\) avec \(\lambda <\mu\).

3. 1. Montrer qu’il existe un unique couple \((p,q)\) d’endomorphismes de \(\mathbf{R}^3\), tel que pour tout \(n\) de \(\mathbf{N}\) : \(a^n =\lambda^np+\mu^nq\).

   2. Montrer que \(p\) et \(q\) sont deux projecteurs vérifiant \(p\mathbin{\circ} q=q\mathbin{\circ} p=0\).

4. Déterminer les endomorphismes \(h\) de \(\mathbf{R}^3\), combinaisons linéaires de \(p\) et \(q\) tels que \(h^2=h\mathbin{\circ} h=a\).

5. Montrer qu’il existe un endomorphisme \(h\) de \(\mathbf{R}^3\) qui n’est pas combinaison linéaire de \(p\) et \(q\) et qui est tel que \(h^2=a\).

[planches/ex9561] polytechnique, espci PC 2023 Soit \(n\geqslant 2\). Si \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) est nilpotente, déterminer les valeurs possibles du cardinal de l’ensemble \(\{B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C}),\ A=B^2\}\).

[concours/ex1216] mines MP 1998 Trouver une matrice \(M\), si elle existe, vérifiant \(M^2=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&0\\1&1&0\\2&1&2\end{array}\right)\) (resp. \(M^2=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&0\\1&2&0\\2&1&2\end{array}\right)\), resp. \(M^2=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&0\\1&0&0\\2&1&2\end{array}\right)\)).

[planches/ex5675] ccinp PC 2019 Soient \(A=\pmatrix{7&-6\cr3&-2}\) et \(\Delta=\pmatrix{1&0\cr0&4}\).

1. Soit \(X\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(X^2=\Delta\). Montrer que \(X\) et \(\Delta\) commutent puis que \(X\) est diagonale.

2. Résoudre l’équation \(M^2=A\) d’inconnue \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

[concours/ex9728] centrale MP 2008 Soit \(A\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) admettant deux valeurs propres distinctes \(\lambda\) et \(\mu\). Trouver un polynôme \(P\) de \(\mathbf{C}[X]\) tel que \(e^A=P(A)\).