[planches/ex6553] polytechnique, espci PC 2021 Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) définie par \(a_{i,j}=0\) si \(i>j\), \(a_{i,j}=i+j^2\) si \(i\leqslant j\). Combien y a-t-il de solutions de l’équation \(M^2=A\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) ?
[planches/ex6553]
[oraux/ex7617] ccp PSI 2014 Soit \(A=\pmatrix{1&2&0\cr0&3&0\cr1&4&-1}\).
[oraux/ex7617]
Déterminer le spectre de \(A\) et trouver une matrice diagonale \(D\) semblable à \(A\).
Montrer que toute matrice commutant avec \(D\) est nécessairement diagonale.
Soit \(P=X^7+X+1\). Déterminer les matrices \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(P(M)=A\).
[planches/ex2659] ccp MP 2017 Soit \(P=X^5+X+1\).
[planches/ex2659]
Montrer que \(P\) admet une unique racine réelle et que celle-ci est strictement négative.
Soit \(A\in\mathscr{M}_{15}(\mathbf{R})\) telle que \(A^5+A+I_{15}=0\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)<0\).
[concours/ex4433] escp S 2006
[concours/ex4433]
On définit les fonctions \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits\) sur \(\mathbf{R}\), par : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits t =\displaystyle{e^t+e^{-t}\over2}\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits t =\displaystyle{e^t-e^{-t}\over2}\).
On pose pour \(t \in \mathbf{R}\), \(M_t=\left(\begin{array}{cc}\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits t& \mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits t\\ \mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits t&\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits t\end{array}\right)\).
Étudier les variations des fonctions \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits\) et tracer leur graphe dans un repère orthonormé du plan. Calculer, pour \(t\in \mathbf{R}\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits^2t - \mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits^2 t\).
En déduire que si \(a\), \(b\) sont deux réels vérifiant \(a^2-b^2=1\), il existe \(t \in \mathbf{R}\) et \(\varepsilon\in\{-1,1\}\) tels que \(a=\varepsilon\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits t\) et \(b=\varepsilon\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits t\).
Montrer que la matrice \(M_t\) est diagonalisable et que l’on peut choisir une base de vecteurs propres de \(M_t\) indépendants de \(t\).
Montrer que l’application \(\theta : \mathbf{R} \rightarrow {\cal M}_2(\mathbf{R})\) définie par \(\theta(t)= M_t\) est injective et vérifie pour tout \((t,t')\in \mathbf{R}^2\), \(\theta (t+t')=\theta (t) \theta (t')\).
On pose \(E=\mathbf{R}^2\), \(J=\left(\begin{array}{cc}1&0\\ 0&-1\end{array}\right)\) et \(q(x,y)=x^2-y^2\). On cherche les éléments \(f \in {\cal L}(E)\) tels que \(q \mathbin{\circ} f=q\).
Montrer que \(f\) est solution de cette équation si et seulement si sa matrice \(M\) vérifie la relation \((\star)\) : \({}^tMJM=J\).
Déterminer l’ensemble des matrices qui vérifient la relation \((\star)\) et montrer qu’il contient les matrices \(M_t\) pour tout \(t \in \mathbf{R}\).
[oraux/ex6167] escp S 2015 Soit \(n \in \mathbf{N}\), tel que \(n \geqslant 2\), et \(g\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^n\) dont la matrice \(A\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^n\) a tous ses coefficients égaux à \(1\).
[oraux/ex6167]
On note \(I_n\) la matrice identité de \({\cal M}_n(\mathbf{R})\).
On considère l’équation \((E)\): \(M^2 + M = A\), d’inconnue \(M \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\), et on note \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^n\) de matrice \(M\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^n\).
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(g\). L’endomorphisme \(g\) est-il diagonalisable ?
Montrer que \(\mathbf{R}^n = \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(g) \oplus \mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(g)\).
Dans cette question, on suppose \(n=2\).
Montrer que, si \(M\) est solution de \((E)\), alors soit \(M\), soit \(M+I_2\) n’est pas inversible.
Dans cette question, on suppose \(M\) non inversible. Montrer que \(f\) et \(g\) ont même image et même noyau.
En déduire qu’il existe \(\lambda \in \mathbf{R}\) tel que \(M = \lambda\,A\).
Résoudre l’équation \((E)\).
Dans le cas \(n>2\), montrer qu’il y a des solutions \(M\) de \((E)\) telles que ni \(f\) ni \(f+ id\) n’ait même noyau et même image que \(g\).
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