Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex1372] escp courts 2017 L’équation \(A^2=A-I_2\), d’inconnue \(A\in {\cal M}_2(\mathbf{C})\) admet-elle des solutions non diagonalisables ?

[planches/ex7319] ccinp PSI 2021 Soit \(A=\pmatrix{3&2&-3\cr-1&5&-2\cr-1&3&0}\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? Déterminer ses éléments propres.

2. Trouver une matrice \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(B^2=A\).

3. Les matrices \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(B^2=A\) sont-elles diagonalisables ?

[examen/ex0907] hec courts S 2021

1. Soit \(A=\pmatrix{1&-3\cr1&5}\). Trouver une matrice diagonale \(D\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) et une matrice inversible \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telle que \(A=PDP^{-1}\).

2. Résoudre l’équation \(M^2=A\) d’inconnue \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

[oraux/ex7183] polytechnique, espci PC 2015 Déterminer les \(n\in\mathbf{N}^*\) pour lesquels il existe \((A,B)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})^2\) tel que \((AB-BA)^2=I_n\).

[planches/ex5383] centrale PSI 2019 Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) vérifiant \((E_1)\) : \(A^4+I_2=0\) et \((E_2)\) : \(A^TA=AA^T\). On note \(u\) et \(v\) les endomorphismes respectivement représentés par \(A\) et \(A^T\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^2\).

1. 1. Montrer que \(A\) est diagonalisable dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\). Quelles sont les valeurs propres possibles ?

   2. Montrer que tout vecteur propre de \(u\) est vecteur propre de \(v\).

2. Quelles sont les matrices satisfaisant \((E_1)\) et \((E_2)\) ?