Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7574] mines MP 2014 Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_4(\mathbf{Q})\) dont \(\sqrt2\) et \(\sqrt3\) est valeur propre et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=1\) ?

[concours/ex9920] polytechnique MP 2010 Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits A=\left(\begin{array}{cc}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t&-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t\\\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t&\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\end{array}\right)\).

[planches/ex4785] polytechnique, espci PC 2019 On pose, pour \(q\in\mathbf{R}^*\), \(A_q=\pmatrix{q&q(q+1)\cr q(q-1)&q}\) et \(A'_q=\displaystyle{A_q\over q^2}\).

1. Soit \((p,q)\in(\mathbf{R}^*)^2\) avec \(p\neq q\). Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que \(A_p\) et \(A_q\) soient semblables.

2. Soit \((p,q)\in(\mathbf{R}^*)^2\) avec \(p\neq q\). Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que \(A'_p\) et \(A'_q\) soient semblables.

3. Soit \(q\in\mathbf{R}^*\). Trouver les \(B\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telles que \(B^2=A_q^2\).

4. Soit \(q\in\mathbf{R}^*\). Trouver les \(B\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) semblables à \(A_q\) et telles que \(B^2=A_q^2\).

[planches/ex8730] centrale PC 2022 Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que, pour un entier \(p\geqslant 3\), \(A^p=I_2\) et \(\forall k\in[[1,p-1]]\), \(A^k\neq I_2\).

1. Montrer que \(A\) est diagonalisable dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\), mais pas dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

2. Montrer qu’il existe \(k\in[[1,p-1]]\) tel que \(A\) est semblable à la matrice \(B=\pmatrix{0&-1\cr1&2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\left(\displaystyle{2k\pi\over p}\right)}\) avec \(\mathop{\mathchoice{\hbox{pgcd}}{\hbox{pgcd}}{\mathrm{pgcd}}{\mathrm{pgcd}}}\nolimits(k,p)=1\).

[examen/ex1069] ens saclay, ens rennes MP 2024 Montrer que toute matrice de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) admet une racine carrée.