Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex0907] hec courts S 2021

1. Soit \(A=\pmatrix{1&-3\cr1&5}\). Trouver une matrice diagonale \(D\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) et une matrice inversible \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telle que \(A=PDP^{-1}\).

2. Résoudre l’équation \(M^2=A\) d’inconnue \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

[planches/ex6072] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2021

1. Soient \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) et \(\Phi_A:M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\mapsto AM+MA\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). Montrer que \(\Phi_A\) est diagonalisable si et seulement si \(A\) est diagonalisable.

2. Soit \(P\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). Donner une partie \(W\) dense dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que, pour tout \(U\in W\), il existe un unique \(V\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel que \(UV+VU=P\).

[concours/ex9906] ens lyon PC 2010 Trouver tous les couples \((A,B)\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})^2\) tels que \(B^2=ABA^{-1}\).

[examen/ex1214] ens PC 2024 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(M^3=0\). Montrer qu’il existe une unique matrice \(X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(X+MX+XM^2=M\).

[planches/ex3409] mines MP 2018 Résoudre l’équation \(X^2-2X=A\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\), où \(A=\pmatrix{1&2\cr2&1}\).