Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex8778] polytechnique, espci PC 2009 Trouver les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(A^2+A+I_2=\left(\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right)\).

[planches/ex2310] mines PC 2017 Soit \(A=\pmatrix{-5&6\cr3&-2}\).

1. Montrer que \(A\) est diagonalisable ; préciser ses valeurs propres.

2. Déterminer les \(B\) telles que \(B^2=A\).

[concours/ex9792] polytechnique PC 2009

1. Trouver une équation algébrique vérifiée par \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(2\pi/5)\).

2. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(2\pi/5)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(4\pi/5)\).

3. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^4+A^3+A^2+A+I_n=0\). On suppose que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A\) est dans \(\mathbf{Q}\). Montrer que \(n\) est divisible par 4.

4. Réciproquement, si \(n\) est divisible par 4, montrer qu’il existe une matrice \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A\in\mathbf{Q}\) et \(A^4+A^3+A^2+A+I_n=0\).

[concours/ex8677] mines MP 2008 Condition sur \(n\in\mathbf{N}^*\) pour qu’il existe \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) vérifiant : \[A^2+2A+5I_n=0\ ?\]

[concours/ex5197] escp S 2007 Soit \(A=\left(\begin{array}{cc} -5 & 3\\ 6 & -2\end{array}\right)\).

Soit \(n\in \mathbf{N}^*\). L’équation \(X^n=A\), d’inconnue \(X\in {\cal M}_2(\mathbf{R})\), admet-elle au moins une solution ?