Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex9416] centrale 2003 Soient \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), \(\mathbf{C}[M]\) l’algèbre des polynômes en \(M\) et : \[I(M)=\{A\in\mathbf{C}[M],\ A^2=I_n\}.\]

1. On suppose, dans cette question, que \(M\) est diagonalisable. Soit \(p\) le cardinal de son spectre. Quelle est la dimension de \(\mathbf{C}[M]\) ? Quel est le cardinal de \(I(M)\) ?

2. Déterminer \(I(M)\) dans le cas où \(M\) est nilpotente.

3. Que dire de \(I(M)\) dans le cas général ?

[planches/ex3620] mines PSI 2018 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) telle que \(4A^3+2A^2+A=0\). Montrer que \((A^k)_{k\geqslant 0}\) converge et déterminer sa limite. Qu’en déduire sur \(A\) ?

[concours/ex9917] polytechnique MP 2010 Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\). Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) l’équation \(X^2=A\), l’équation \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(X)=A\).

[concours/ex8985] centrale PC 2010 Soient \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) tel que \(a^2-4b<0\), \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension finie et \(u\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(u^2+au+b\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_E=0\).

1. Soit \(x\in E\setminus\{0\}\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(x,u(x))\) est un plan et que ce plan est stable par \(u\).

2. Montrer que \(E\) est somme directe de plans stables par \(u\). En déduire que la dimension de \(E\) est paire. Pouvait-on le déduire directement de la relation \(u^2+au+b\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_E=0\) ?

3. Déterminer les \(v\in\mathscr{L}(E)\) tels que \(v^2+av+b\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_E=0\).

[concours/ex6555] mines MP 2006 Trouver les \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(A^3-4A^2+4A=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A=8\).