Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex5320] ens PC 2007

1. Si \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\), comment peut-on définir \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits A\) ?

2. Soient \(A\) et \(B\) deux matrices semblables de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Que dire de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits A\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits B\) ?

3. Existe-t-il \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(A)=\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right)\) ?

[examen/ex1317] polytechnique MP 2024 La matrice \(\pmatrix{1&2024\cr0&1}\) peut-elle s’écrire \(\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!} A^{2n+1}\) avec \(A\in \mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) ?

[concours/ex9999] centrale MP 2010 Pour \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), on note \(\mathscr{I}_M\) l’ensemble des matrices \(A\) de \(\mathbf{C}[M]\) telles que \(A^2=I_n\).

1. On suppose \(M\) diagonalisable et l’on note \(p\) le nombre de ses valeurs propres distinctes. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits\mathbf{C}[M]\) et \(|\mathscr{I}_M|\).

2. Déterminer \(\mathscr{I}_M\) lorsque \(M\) est nilpotente.

[concours/ex5919] centrale MP 2007 Soient \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) et \(\mathscr{I}(M)=\{A\in\mathbf{C}[M],\ A^2=I_n\}\).

1. On suppose \(M\) diagonalisable et on note \(p\) le nombre de valeurs propres distinctes de \(M\). Déterminer la dimension de \(\mathbf{C}[M]\) et le cardinal de \(\mathscr{I}(M)\).

2. On suppose \(M\) nilpotente. Décrire \(\mathscr{I}(M)\).

3. Que dire dans le cas général du cardinal de \(\mathscr{I}(M)\) ?

[concours/ex8985] centrale PC 2010 Soient \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) tel que \(a^2-4b<0\), \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension finie et \(u\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(u^2+au+b\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_E=0\).

1. Soit \(x\in E\setminus\{0\}\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(x,u(x))\) est un plan et que ce plan est stable par \(u\).

2. Montrer que \(E\) est somme directe de plans stables par \(u\). En déduire que la dimension de \(E\) est paire. Pouvait-on le déduire directement de la relation \(u^2+au+b\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_E=0\) ?

3. Déterminer les \(v\in\mathscr{L}(E)\) tels que \(v^2+av+b\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_E=0\).