Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7594] mines PC 2014 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(AB^2-B^2A=B\). Calculer \(AB^{2k}-B^{2k}A\) pour \(k\in\mathbf{N}^*\). En déduire que \(B\) est nilpotente.

[concours/ex5320] ens PC 2007

1. Si \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\), comment peut-on définir \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits A\) ?

2. Soient \(A\) et \(B\) deux matrices semblables de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Que dire de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits A\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits B\) ?

3. Existe-t-il \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(A)=\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right)\) ?

[examen/ex1056] ens lyon MP 2024 Déterminer l’image de \[\varphi:M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\mapsto\sum\limits_{n\in\mathbf{N}} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}M^{2n+1}.\]

[concours/ex5587] mines MP 2007 Soit \(M=\left(\begin{array}{ccccc} 0&\cdots&\cdots&\cdots&0\\1&0&&&\vdots\\ 0&1&\ddots&&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&1&0\end{array}\right)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

1. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) nilpotente de rang \(n-1\). Montrer que \(A\) est semblable à \(M\).

2. Soit \(J(\lambda)=\lambda I_n+M\) avec \(\lambda\in\mathbf{C}\). Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits J(0)\). Montrer que \(J(\lambda)\in\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(\mathscr{M}_n(\mathbf{R}))\) pour \(\lambda\in\mathbf{R}^*\).

[examen/ex1317] polytechnique MP 2024 La matrice \(\pmatrix{1&2024\cr0&1}\) peut-elle s’écrire \(\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!} A^{2n+1}\) avec \(A\in \mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) ?